[論文レビュー] Monoidal equivalence for locally compact quantum groups

Kenny De Commer|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ギャロア対象とコアクションを用いて、局所コンパクトな量子群の間のモノイダル同値性を確立し、ユニタリ2-コサイクルによる量子群のねじれ操作が、別の局所コンパクトな量子群を生成することを証明する。また、それらの表現カテゴリのモノイダル同値性を誘導する双加群を構成する。

ABSTRACT

In this article we investigate the notion of monoidal equivalence for locally compact quantum groups, using the notion of a (bi-)Galois object. If (M,∆) is the von Neumann algebraic realization of a locally compact quantum group, a Galois object consists of a von Neumann algebra N together with an ergodic integrable coaction α of M on N, such that C ⊆ α(N) ⊆ N ⋊ M is the basic construction (in a canonical way). We show that we can associate to (N,α) another locally compact quantum group (P,∆P) and coaction γ of P on N, such that (N,γ) is a Galois object and such that γ and α commute. In fact, these objects are the building blocks of a special kind of quantum groupoid. We show that there are equivalence bimodules for all realizations of the duals of (M,∆) and (P,∆P), and that these provide monoidal equivalences between the categories of their ∗-representations. By these investigations, we are able to prove the following statement: any twisting of a locally compact quantum group by a unitary 2-cocycle is again a locally compact quantum group. We are also able to obtain a specific example of the following phenomenon: one can twist a compact quantum group by a 2-cocycle, and end up with a locally compact quantum group which is no longer compact.

研究の動機と目的

• ギャロア対象とコアクションを用いて、局所コンパクトな量子群のモノイダル同値性を定義し、特徴づけること。
• 与えられたギャロア対象とコアクションから双対量子群を構成し、コアクションの可換性を保証すること。
• ギャロア対象から得られる双対量子群の表現カテゴリ間の同値性双加群を確立すること。
• ユニタリ2-コサイクルによる局所コンパクトな量子群のねじれ操作が、別の局所コンパクトな量子群を生成することを証明すること。
• コンパクトな量子群が2-コサイクルによるねじれ操作によって、非コンパクトな局所コンパクトな量子群に変換可能であることを示すこと。

提案手法

• 局所コンパクトな量子群のためのフォン・ノイマン代数的枠組みを用い、(M,∆) を基本となる量子群とする。
• ギャロア対象 (N,α) を、M に対するエルゴディックかつ可積分なコアクション α を持つフォン・ノイマン代数 N として定義し、C ⊆ α(N) ⊆ N ⋊ M が基本構成をなすものとする。
• 新たな量子群 (P,∆P) と、N への P のコアクション γ を構成し、(N,γ) がギャロア対象であり、かつ α と可換であるようにする。
• これらの可換なコアクションから構成される量子群ゴイドの構造を用いて、同値性双加群を導出する。
• 双加群を用いて、(M,∆) と (P,∆P) の双対の ∗-表現カテゴリ間のモノイダル同値性を確立する。
• この枠組みを用いて、ユニタリ2-コサイクルのねじれ操作が局所コンパクトな量子群構造を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャロア対象と可換なコアクションを用いて、局所コンパクトな量子群間のモノイダル同値性を特徴づけられるか？
• RQ2 与えられたギャロア対象とコアクションから双対量子群をどのように構成できるか？
• RQ3 ギャロア対象から得られる双対量子群の表現カテゴリ間には、同値性双加群が存在するか？
• RQ4 ユニタリ2-コサイクルによる局所コンパクトな量子群のねじれ操作は、局所コンパクトな量子群のクラス内で閉じているか？
• RQ5 2-コサイクルによるねじれ操作によって、コンパクトな量子群を非コンパクトな局所コンパクトな量子群に変換できるか？

主な発見

• ギャロア対象から導かれる同値性双加群を用いて、双対量子群の表現カテゴリ間のモノイダル同値性が確立された。
• 任意の局所コンパクトな量子群は、ユニタリ2-コサイクルによるねじれ操作によって、別の局所コンパクトな量子群に変換可能である。
• この構成により、新たな量子群 (P,∆P) と、ギャロア対象 N への可換なコアクション γ が得られ、量子群ゴイド構造が形成された。
• コンパクトな量子群は2-コサイクルによるねじれ操作によって、もはやコンパクトでない局所コンパクトな量子群に変換可能である。
• ジョーンズの意味での基本構成が、ギャロア対象における包含 C ⊆ α(N) ⊆ N ⋊ M に自然に実現された。
• この枠組みにより、双対量子群の表現カテゴリ間のモノイダル同値性を体系的に生成する手法が提供された。