[論文レビュー] Monoidal model categories

Mark Hovey|ArXiv.org|Feb 28, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、スウェーデ・シップルの条件が成立しない場合でも、発生成されたモノイダルモデル圏で単位がコフibrントであるような状況において、モノイドおよびモジュールのホモトピー圏を確立する。ホモトピー圏が適切に定義されており、ホモトピー的不変性を示し、対称スペクトルのような位相的設定におけるモノイダル構造へのホモトピー理論の拡張を実現する。

ABSTRACT

A monoidal model category is a model category with a compatible closed monoidal structure. Such things abound in nature; simplicial sets and chain complexes of abelian groups are examples. Given a monoidal model category, one can consider monoids and modules over a given monoid. We would like to be able to study the homotopy theory of these monoids and modules. This question was first addressed by Stefan Schwede and Brooke Shipley in "Algebras and modules in monoidal model categories", who showed that under certain conditions, there are model categories of monoids and of modules over a given monoid. This paper is a follow-up to that one. We study what happens when the conditions of Schwede-Shipley do not hold. This will happen in any topological situation, and in particular, in topological symmetric spectra. We find that, with no conditions on our monoidal model category except that it be cofibrantly generated and that the unit be cofibrant, we still obtain a homotopy category of monoids, and that this homotopy category is homotopy invariant in an appropriate sense.

研究の動機と目的

• シュウェーデ＝シップルの元来の条件に縛られない、モノイドおよびモジュールのホモトピー理論を拡張すること。
• モノイダル構造が標準的なファイブラリティまたはコフibrャンシーの仮定を満たさないモノイダルモデル圏において、モノイドのホモトピー圏を定義する課題に対処すること。
• 得られるホモトピー圏が、対称スペクトルのような位相的文脈においてホモトピー的不変であり、うまく振る舞うことを保証すること。
• 単位がコフibrントであるが他の条件が満たされないような、位相的対称スペクトルやその他のモノイダルモデル圏に適用可能な一般枠組みを提供すること。

提案手法

• 発生成されたモノイダルモデル圏で単位がコフibrントであるものを基礎的枠組みとして採用する。
• モノイダル構造を尊重する局所化プロセスを用いて、モノイドのホモトピー圏を構成する。
• コフibrント単位の条件を用いて、モノイダル構造と弱同値との間の整合性を保証する。
• ホモトピー圏におけるモノイド上のモジュールを定義し、それらのホモトピー的不変性を証明する。
• 得られるホモトピー圏が選択の仕方によらず不変であり、ホモトピーの意味でモノイダル演算を保存することを確立する。
• この枠組みを、標準的条件を満たさないが、依然として適切に定義されたホモトピー理論をもたらす位相的対称スペクトルに適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュウェーデ＝シップルの条件が満たされない場合でも、モノイダルモデル圏においてモノイドのホモトピー圏を定義できるか？
• RQ2 基礎となる圏における弱同値に関して、モノイドのホモトピー圏はホモトピー的不変か？
• RQ3 コフibrント単位の条件が、うまく振る舞うモノイドのホモトピー圏の構成をどのように可能にするか？
• RQ4 この枠組みは、標準的条件が満たされないが、対称スペクトルのような位相的設定に適用可能か？
• RQ5 モジュールのホモトピー圏が適切に定義され、不変であるために必要な構造的性質は何か？

主な発見

• 任意の発生成されたモノイダルモデル圏で単位がコフibrントである限り、シュウェーデ＝シップルの追加的条件がなくても、モノイドのホモトピー圏が存在する。
• モノイドのホモトピー圏はホモトピー的不変であり、弱同値を尊重し、構成における選択に依存しない。
• この構成はモジュールに対しても拡張可能であり、モジュールの適切に定義されたホモトピー圏をもたらす。
• この枠組みは、モノイダル構造が標準的条件を満たさないが、ホモトピー理論が依然としてうまく振る舞う位相的対称スペクトルに適用可能である。
• 他の技術的仮定が欠けていても、コフibrント単位の条件が、ホモトピー圏の存在および不変性を保証するのに十分である。