[論文レビュー] Monoids, Embedding Functors and Quantum Groups

Michael Müger, Lars Tuset|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2006

Rings, Modules, and Algebras被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、離散量子群の左正則表現がその表現カテゴリ内で吸収的モノイドをなすこと、および、そのような吸収的モノイドがヒルベルト空間への*-保存埋め込み関手を導くことの証明を行う。主な貢献は、(1) C*-テンソルカテゴリが離散量子群の表現カテゴリと同型であること、(2) 吸収的モノイドをもつこと、(3) *-保存埋め込み関手をもつことの3条件の同値性を示したことである。

ABSTRACT

We show that the left regular representation \pi_l of a discrete quantum group (A,\Delta) has the absorbing property and forms a monoid (\pi_l, ilde{m}, ilde{\eta}) in the representation category Rep(A,\Delta). Next we show that an absorbing monoid in an abstract tensor *-category C gives rise to an embedding functor E:C->Vect_C, and we identify conditions on the monoid, satisfied by (\pi_l, ilde{m}, ilde{\eta}), implying that E is *-preserving. As is well-known, from an embedding functor E: C->\mathrm{Hilb} the generalized Tannaka theorem produces a discrete quantum group (A,\Delta) such that C is equivalent to Rep_f(A,\Delta). Thus, for a C^*-tensor category C with conjugates and irreducible unit the following are equivalent: (1) C is equivalent to the representation category of a discrete quantum group (A,\Delta), (2) C admits an absorbing monoid, (3) there exists a *-preserving embedding functor E: C->\mathrm{Hilb}.

研究の動機と目的

• C*-テンソルカテゴリが共役をもち、単位が既約であるとき、それが離散量子群の表現カテゴリとして特徴づけられる条件を特定すること。
• 既存のタンナカ双対性におけるギャップを埋めるために、埋め込み関手の存在を保証する内部カテゴリ的条件（例えば吸収的モノイド）を同定すること。
• デリーニの対称モノイド的手法を、非対称的かつ非ブレード付きの量子群の設定へ一般化すること。
• 離散量子群の左正則表現が、その表現カテゴリ内で自然に吸収的モノイドをなすことの証明。
• C*-テンソルカテゴリに吸収的モノイドが存在するならば、ヒルベルト空間への*-保存埋め込み関手が導かれることが保証され、これによりタンナカ再構成が可能になることの確立。

提案手法

• 離散量子群 (A, Δ) の表現カテゴリにおいて、左正則表現とフーリエ変換を用いて正則モノイド (πₗ, ˜m, ˜η) を定義する。
• ˜m = F⁻¹ ∘ ˆm ∘ (F ⊗ F) および ˜η(1) = F⁻¹(1̂ₐ) によりモノイド構造を構成する。ここで F は左不変汎関数 ϕ に関連するフーリエ変換である。
• 任意の対象 X に対して、Q-加群 (Q ⊗ X, ˜m ⊗ id_X) が (Q, ˜m) の複数のコピーに同型であることを示し、このモノイドが吸収的であることを証明する。
• 共役をもつ C*-テンソルカテゴリ C に吸収的モノイドが存在するならば、*-保存テンソル関手 E: C → Hilb（ヒルベルト空間）が導かれる。
• 一般化されたタンナカの定理を用いて、このような関手から離散量子群 (A, Δ) を再構成し、カテゴリカル同型を確立する。
• C に無限個の既約対象が存在する場合には、inductive limit のカテゴリ ˆC で作業し、ˆC において吸収的モノイドが存在することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-テンソルカテゴリが共役をもち、単位が既約であるとき、どのような内部カテゴリ的条件が、それが離散量子群の表現カテゴリと同型であることを保証するか？
• RQ2 C*-テンソルカテゴリに吸収的モノイドが存在するならば、ヒルベルト空間への*-保存埋め込み関手の存在が保証されるか？
• RQ3 離散量子群の左正則表現が、その表現カテゴリ内で自然に吸収的モノイドをなすか？
• RQ4 モノイドにどのような条件が課わられると、関連する埋め込み関手が*-保存になるか？
• RQ5 整数値をとる次元関数の存在は、吸収的モノイドまたは埋め込み関手の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 離散量子群 (A, Δ) の左正則表現 πₗ は、カテゴリ Rep(A, Δ) 内で吸収的モノイド (πₗ, ˜m, ˜η) をなす。
• 共役をもつ C*-テンソルカテゴリ C に吸収的モノイドが存在するとき、そのモノイドが特定の構造的条件を満たせば、*-保存テンソル関手 E: C → Hilb が導かれる。
• C*-テンソルカテゴリ C に *-保存埋め込み関手 E: C → Hilb が存在することは、C に吸収的モノイドが存在することと同値である。
• C*-テンソルカテゴリ C が共役をもち、単位が既約であるとき、以下の3条件は同値である：(1) C ≃ Repf(A, Δ) を満たすある離散量子群 (A, Δ) が存在する、(2) C は吸収的モノイドをもつ、(3) *-保存埋め込み関手 E: C → Hilb が存在する。
• C の内在的次元関数が整数値をとらず、かつ C が有限またはユニタリなブレードをもつならば、*-保存埋め込み関手は存在し得ない。
• C 上の整数値次元関数 n に対して、ˆC 内の直和 Q = ⊕ᵢ nᵢ Xᵢ は、すべての X ∈ C に対して Q ⊗ X ≅ n(X)Q を満たす。また、Q が既約対象の直和で Q ⊗ X ≅ n(X)Q を満たすならば、Q はそのような和の複数のコピーに同型であり、n(X) ∈ ℕ が成り立つ。