[論文レビュー] Monolithic Convex Limiting for Legendre-Gauss-Lobatto Discontinuous Galerkin Spectral Element Methods

Andrés M. Rueda-Ramírez, Benjamin Bolm+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2023

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、LGLノードが持つ本質的なサブセルフラックス構造と和分ごとに部分和（SBP）性質を活用して、不変領域保存およびエントロピー安定性を強制する、レジェンドル–ガウス–ルジャンドル（LGL）非連続ガラーキンスペクトル有限要素法（LGL-DGSEM）のモノリシック凸制限（MCL）フレームワークを提案する。この手法は時間刻みに依存しない安定化を達成し、人工的分散が時間刻みに依存しないため、強い衝撃波、急勾配、および渦中心の流れを伴う圧縮性エーラー流体の安定なシミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

We extend the monolithic convex limiting (MCL) methodology to nodal discontinuous Galerkin spectral element methods (DGSEM). The use of Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) quadrature endows collocated DGSEM space discretizations of nonlinear hyperbolic problems with properties that greatly simplify the design of invariant domain preserving high-resolution schemes. Compared to many other continuous and discontinuous Galerkin method variants, a particular advantage of the LGL spectral operator is the availability of a natural decomposition into a compatible subcell flux discretization. Representing a high-order spatial semi-discretization in terms of intermediate states, we perform flux limiting in a manner that keeps these states and the results of Runge-Kutta stages in convex invariant domains. Additionally, local bounds may be imposed on scalar quantities of interest. In contrast to limiting approaches based on predictor-corrector algorithms, our MCL procedure for LGL-DGSEM yields nonlinear flux approximations that are independent of the time-step size and can be further modified to enforce entropy stability. To demonstrate the robustness of MCL/DGSEM schemes for the compressible Euler equations, we run simulations for challenging setups featuring strong shocks, steep density gradients and vortex dominated flows.

研究の動機と目的

• レジェンドル–ガウス–ルジャンドル（LGL）積分を用いたノーダル非連続ガラーキンスペクトル有限要素法にモノリシック凸制限（MCL）を拡張すること。
• LGL-DGSEMに内在するサブセルフラックス分解と対角質量行列を活用して、高解像度で不変領域保存可能なスキームの設計を簡素化すること。
• ルンゲ＝クッタ段階の各段階で凸不変領域を維持し、スカラー量に局所的な境界を課すことができるフラックス制限戦略を開発すること。
• 時間刻みサイズに依存しないMCLに基づくフラックス修正により、エントロピー安定性を達成すること。
• 強衝撃波、密度勾配、乱流を伴う困難なハイパボリック問題に対するロバストネスを実証すること。

提案手法

• 中間状態の表現を用いて、凸不変領域を保ちつつフラックス制限を可能にする高次空間半離散化を定式化する。
• LGL-DGSEMに内在する自然なサブセルフラックス分解を活用して、人工的再構築を伴わずに反拡散補正を定義する。
• 予測子・修正子時間分割を回避するため、制限付きフラックスを残差に直接組み込むモノリシックアプローチを実装する。
• フラックスの和ではなく個々のフラックスを制約することで不変領域保存を強制し、局所的および大域的境界を保証する。
• 制限子に基づく修正によりエントロピー安定性を実現し、半離散的エントロピー不等式を維持する。
• LGL-DGSEMにおける対角質量行列と和分ごとに部分和（SBP）作用素を用いて、エントロピー安定性と高次精度を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノリシック凸制限は、LGL-DGSEMに効果的に拡張可能であり、不変領域保存およびエントロピー安定性を維持できるか？
• RQ2 MCLのLGL-DGSEMは、従来の予測子・修正子FCTスキームと比較して、時間刻み依存性および分散特性においてどのように異なるか？
• RQ3 MCL/LGL-DGSEMのベンチマーク問題における強衝撃波、急勾配、および渦中心の流れに対する性能はいかがなものか？
• RQ4 MCLフレームワーク内でスカラー量の局所的境界を保証できるか、安定性に悪影響を及げないか？
• RQ5 モノリシック定式化は、非線形ハイパボリック系において時間刻みに依存しない安定化を保証するか？

主な発見

• MCL/LGL-DGSEMフレームワークは、時間刻みに依存しない安定化を達成し、数値的安定化を要する問題において期待される時間収束性を示した。
• 本手法は、不適切な振動や領域違反を伴わず、強い衝撃波、急勾配、渦中心の流れを的確に捉えた。
• 予測子・修正子FCTスキームと比較して、MCLは時間刻みサイズに依存する分散を低減し、時間的収束性の向上を実現した。
• LGLノードの使用により、自然なサブセルフラックス分解と対角質量行列が得られ、凸制限の実装が簡素化された。
• エントロピー安定性はMCLに基づくフラックス修正により強制され、制限戦略によって半離散的エントロピー不等式が維持された。
• Trixi.jlにおける実装は再現可能であり、公開されており、完全なコードと結果の再現を可能としている。