[論文レビュー] Monomial bases for free pre-Lie algebras

Mahdi Jasim Hasan Al-Kaabi|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 15

ひとこと要約

本稿は根付き木を用いて自由 pre-Lie 代数の単項式基底を構成し、非平面的根付き木の平面的代表元の選択と一対一対応する木に基づく単項式基底の関係を確立する。単項式基底と根付き木基底の間の変換行列が単ユニポテンツであることを証明し、平面的木上の自由マグマ代数の同型を用いてその係数の明示的公式を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we study the concept of free pre-Lie algebra generated by a (non-empty) set. We review the construction of A. Agrachev and R. Gamkrelidze of monomial bases in free pre-Lie algebras. We describe the matrix of the monomial basis vectors in terms of the rooted trees basis exhibited by F. Chapoton and M. Livernet. We also show that this matrix is unipotent and we find an explicit expression for its coefficients.

研究の動機と目的

• 空でない集合によって生成される自由 pre-Lie 代数における単項式基底の明示的構成を提供すること。
• 下位エネルギー項が Chapoton-Livernet の根付き木基底を回復するような、木に基づく単項式基底を特徴づけること。
• 木に基づく単項式基底と、非平面的根付き木から平面的根付き木への忘却平面性写像のセクションとの間の一対一対応を確立すること。
• 平面的木上の自由マグマ代数の同型を用いて、単項式基底の係数を根付き木基底に明示的に導出すること。

提案手法

• 反復的な pre-Lie のグラフトィングに基づく Agrachev-Gamkrelidze 法を用いて単項式基底を構成する。
• 平面的根付き木から非平面的根付き木への双対線形写像 $\widetilde{\Psi}_S$ を、忘却平面性射影 $\pi$ のセクション $S$ に依存して定義する。
• 左 Butcher 積と左グラフトィング積を用いて定義される、平面的根付き木上の自由マグマ代数の間の未発表の同型 $\Psi$ を適用する。
• 係数 $c(\sigma,\tau)$ を平面的木基底において $\Psi$ の表現として求め、その後 $\widetilde{\Psi}_S$ を用いて非平面的基底へと持ち上げる。
• 単項式基底から根付き木基底への変換係数行列 $[\![\beta_S(s,t)]\!]_{s,t \in \mathcal{T}_n}$ を導出する。
• 変換行列の単ユニポテンツ性を証明し、木の再帰的構造を用いてそのエントリの明示的表現を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由 pre-Lie 代数において、集合によって生成される単項式基底をどのように体系的に構成できるか？
• RQ2 単項式基底と Chapoton および Livernet の根付き木基底との間の明確な関係は何か？
• RQ3 木に基づく単項式基底は、非平面的根付き木の平面的代表元の選択とどのように対応するか？
• RQ4 次数 $n$ における単項式基底と根付き木基底の間の変換行列の明示的形は何か？
• RQ5 単項式基底と根付き木基底の間の変換行列は単ユニポテンツか？また、その係数は明示的に計算可能か？

主な発見

• 木に基づく単項式基底は、平面的から非平面的根付き木への忘却平面性写像 $\pi$ のセクション $S$ と一対一対応する。
• 任意の木に基づく単項式基底から根付き木基底への変換行列 $[\![\beta_S(s,t)]\!]_{s,t \in \mathcal{T}_n}$ は単ユニポテンツである。
• 係数 $\beta_S(s,t)$ は、Butcher 積とグラフトィング積を用いて定義される、平面的木上の自由マグマ代数の同型 $\Psi$ を用いて明示的に計算可能である。
• Agrachev-Gamkrelidze の単項式基底が木に基づくものであることが示され、その下位エネルギー項が Chapoton-Livernet の木基底を回復する。
• 任意の次数 $n > 0$ に対して、行列 $[\![\beta_S(s,t)]\!]_{s,t \in \mathcal{T}_n}$ は単項式から根付き木への基底変換を表し、平面的代表元を用いてエントリを計算可能である。
• 本構成は、単ユニポテンツ変換行列を通じて、自由 pre-Lie 代数における単項式基底と根付き木基底を結ぶ完全な代数的枠組みを提供する。