[論文レビュー] Monomial ideals and the Gorenstein liaison class of a complete intersection

Juan Migliore, Uwe Nagel|ArXiv.org|Mar 27, 2001

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Artinian単項式イデアルおよびCohen-Macaulay Borel固定単項式イデアルがglicciであることを確立している。glicciとは、完全交差のGorensteinリレーションクラスに属することを意味する。単項式イデアルから代数的Cohen-Macaulayスキームを構成するためのリフト技術を用いて、著者たちは、代数的Cohen-Macaulayスキームによって実現可能なすべてのヒルベルト関数が、glicciスキームによっても実現可能であることを示し、すべての代数的Cohen-Macaulay部分スキームが平坦変形を経てglicciである可能性を強く示唆している。

ABSTRACT

It is well known that for a subscheme $V$ in ${\mathbb P}^{n}$ of codimension two, the conditions (1) $V$ is ACM, and (2) $V$ is "licci" (i.e. $V$ is in the liaison class of a complete intersection) are equivalent. In higher codimension, (2) implies (1) but the converse is false. For Gorenstein liaison the analog of (2) is: $(2')$ $V$ is "glicci" (i.e. $V$ is in the Gorenstein liaison class of a complete intersection). It remains true that $(2')$ implies (1) but now the converse is an important open question. Previously the authors described a mechanism for lifting monomial ideals to reduced unions of linear varieties. We show here that if the monomial ideal is Artinian then the corresponding union is glicci. As a consequence, any Hilbert function that occurs among ACM schemes in fact occurs among glicci schemes. This is not true if we restrict to complete intersection links. We also show that any Cohen-Macaulay Borel-fixed monomial ideal is glicci. As a consequence, all ACM subschemes of projective space are glicci up to flat deformation.

研究の動機と目的

• 射影空間内のすべての代数的Cohen-Macaulay（ACM）部分スキームが、完全交差のGorensteinリレーションクラス（glicci）に属するかどうかを調査すること。
• licciスキームに関するGaetaの定理を、より広範なGorensteinリレーションの文脈へと拡張すること。
• 代数的Cohen-Macaulayスキームによって実現可能なすべてのヒルベルト関数が、glicciスキームによっても実現可能であることを示すこと。
• すべてのACM部分スキームが平坦変形を経てglicciであることを示し、質問1.1に対する肯定的解答を、変形を含めて得ること。

提案手法

• 線形形式の行列を用いたt-リフト構成を用いて、Artinian単項式イデアルを、非特異的かつ代数的Cohen-Macaulayな線形多様体の直和の飽和イデアルにリフトする。
• 超平面切断とG-二重連結を通じた再帰的連結プロセスを用いて、リフトされたイデアルがglicciであることを示す。
• 一般初期イデアルおよびBorel固定イデアルの理論を用いて、すべてのACMスキームがglicciスキームに変形可能であることを示す。
• 単項式イデアルのヒルベルト関数を部分環上の成分に分解することで、リフトおよび連結プロセスを誘導する。
• lex-セグメントイデアルをリフトし、得られたスキームがglicciであることを検証することで、所望のh-ベクトルを持つglicciスキームの具体的な例を構成する。
• Borel固定単項式イデアルが一般初期イデアルであることを利用し、元のACMスキームの平坦変形を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影空間内のすべての代数的Cohen-Macaulay部分スキームは、平坦変形を経てglicciであるか？
• RQ2 代数的Cohen-Macaulayスキームによって実現可能なすべてのヒルベルト関数が、glicciスキームによっても実現可能か？
• RQ3 すべてのCohen-Macaulay Borel固定単項式イデアルはglicciか？
• RQ4 Artinianでない場合にも、Artinian単項式イデアルに用いられたリフトおよび連結技術は拡張可能か？
• RQ5 すべての単項式イデアルについて、Borel固定でない場合を含めてglicci性が確立可能か？

主な発見

• 与えられたO-列ヒルベルト関数を持つ非退化の代数的Cohen-Macaulayで非特異な線形多様体の直和はglicciであり、すべてのこのようなヒルベルト関数がglicciスキームに現れることを示している。
• 任意のArtinian単項式イデアルはglicciイデアルにリフト可能であり、対応する線形多様体の直和が完全交差のGorensteinリレーションクラスに属することを意味する。
• すべてのCohen-Macaulay Borel固定単項式イデアルはglicciであり、これはすべての代数的Cohen-Macaulay部分スキームが平坦変形を経てglicciであることを示唆している。
• リフト構成により、元のイデアルがArtinianでない場合でも、得られるスキームは非特異的かつ代数的Cohen-Macaulayであり、かつglicciであることが保証される。
• 所望のh-ベクトル（例：P^3における(1,3,6,10,4,2)）を持つglicciスキームを構成する方法が得られ、これは完全交差連結によるアプローチでは困難である。
• 証明により、ACMスキームによって実現可能なすべてのヒルベルト関数に対してglicciスキームが存在し、これは一般にlicciスキームでは成立しない。