[論文レビュー] Monotone Linear Relations: Maximality and Fitzpatrick Functions

Heinz H. Bauschke, Xianfu Wang+1 more|ArXiv.org|May 28, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 23被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、反射的バナッハ空間における最大単調な線形関係を、フィッツパトリック関数を核となる道具として用いて調査する。最大単調性の基準を確立し、フィッツパトリック族を用いて歪み線形関係を特徴づけ、シモンズが提起した問題を解決する。すなわち、凸グラフをもつ最大単調作用素は必ずアフィン的であることを証明する。

ABSTRACT

We analyze and characterize maximal monotonicity of linear relations (set-valued operators with linear graphs). An important tool in our study are Fitzpatrick functions. The results obtained partially extend work on linear and at most single-valued operators by Phelps and Simons and by Bauschke, Borwein and Wang. Furthermore, a description of skew linear relations in terms of the Fitzpatrick family is obtained. We also answer one of Simons problems by showing that if a maximal monotone operator has a convex graph, then this graph must actually be affine.

研究の動機と目的

• 線形関係（線形グラフをもつ多価作用素）への最大単調性理論の拡張を図り、単価作用素に対する既存結果を一般化すること。
• 線形関係とその随伴の定義域、値域、核の関係を調査すること。
• フィッツパトリック族の構造を用いて歪み線形関係を特徴づけること。
• シモンズが提起した問題を解決する。すなわち、凸グラフをもつ最大単調作用素は必然的にアフィン的であることを証明すること。
• フィッツパトリック関数を用いて、単調な線形関係の最大性に関する新しい基準を確立し、フェルプス、シモンズらの先行研究を一般化すること。

提案手法

• 線形関係の単調性と最大性を研究するための主要な分析的道具としてフィッツパトリック関数を用いる。
• フェンケル共役と双対性理論を適用し、フィッツパトリック族およびその共役 $ F_A^{* op} $ を分析する。
• 恒等式 $ F_A = \bigwedge_{F \to \text{フィッツパトリック族}} F $ および $ F_A^{* op} = \bigvee_{F \to \text{フィッツパトリック族}} F $ を用い、族内の最小関数と最大関数を結びつける。
• 作用素 $ A $ が最大単調であるための必要十分条件が $ F_A = F_A^{* op} $ であることを利用し、最大性の条件を導出する。
• 特に $ X \times X^* $ 内の双対性および直交性関係、特に $ (\operatorname{gra}A)^\perp $ を用いて $ A $ と $ A^* $ を関連付ける。
• 歪み線形関係を完全に記述するための特徴づけ $ \mathcal{F}_A = \{ \iota_{\operatorname{gra}A} \} $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調な線形関係が最大単調となる条件は何か？
• RQ2 線形関係とその随伴の定義域、値域、核の関係はいかなるものか？
• RQ3 最大単調な線形関係のフィッツパトリック族がシングルトンであるのはいつか？
• RQ4 歪み線形関係は、そのフィッツパトリック関数を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ5 凸グラフをもつ最大単調作用素は、必ずアフィン的であるか？

主な発見

• 凸グラフをもつ最大単調作用素は、アフィン的でなければならない。これは、シモンズが提起した問題を解決するものである。
• 最大単調な線形関係 $ A $ に対して、$ A $ が歪みであるための必要十分条件は、$ \operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^* $ かつフィッツパトリック族 $ \mathcal{F}_A $ がシングルトンであることである。
• $ A $ が歪みであるとき、フィッツパトリック族は唯一つの関数からなる：$ \mathcal{F}_A = \{ \iota_{\operatorname{gra}A} \} $、かつ $ F_A = F_A^{* op} = \iota_{\operatorname{gra}A} $。
• 最小および最大のフィッツパトリック関数は、$ F_A(x,x^*) = \min_{F \in \mathcal{F}_A} F(x,x^*) $ および $ F_A^{* op}(x,x^*) = \max_{F \in \mathcal{F}_A} F(x,x^*) $ を満たす。
• もし $ A $ が最大単調であり、$ \mathcal{F}_A $ がシングルトンであれば、$ A $ は歪み的であり、$ A = -A^* $ が成り立ち、すべての $ x \in \operatorname{dom}A $ に対して $ \langle x, Ax \rangle = 0 $ が成り立つ。
• 最大単調な線形関係 $ A $ の随伴 $ A^* $ は、$ \operatorname{gra}A $ が閉じているとき $ A^{**} = A $ を満たし、$ \overline{\operatorname{dom}A} = (A^*0)^\perp $ を満たす。