[論文レビュー] Monotones in General Resource Theories

Tomáš Gonda, Robert W. Spekkens|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2019

Distributed systems and fault tolerance被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、資源理論における資源の豊かさを定量化する関数（単調関数）を構築する一般化された枠組みを提案する。資源の順序を、単調関数が定義しやすい補助順序に写像することで実現される。この枠組みは、ロバストネスやウェイト測度といった既知の構成を統一的かつ一般化し、2-および3-収縮に基づいて自然に導かれることが示され、物理的および情報理論的資源理論のあらゆる分野に適用可能な体系的かつ抽象的なアプローチを提供する。

ABSTRACT

A central problem in the study of resource theories is to find functions that are nonincreasing under resource conversions - termed monotones - in order to quantify resourcefulness. Various constructions of monotones appear in many different concrete resource theories. How general are these constructions? What are the necessary conditions on a resource theory for a given construction to be applicable? To answer these questions, we introduce a broad scheme for constructing monotones. It involves finding an order-preserving map from the preorder of resources of interest to a distinct preorder for which nontrivial monotones are previously known or can be more easily constructed; these monotones are then pulled back through the map. In one of the two main classes we study, the preorder of resources is mapped to a preorder of sets of resources, where the order relation is set inclusion, such that monotones can be defined via maximizing or minimizing the value of a function within these sets. In the other class, the preorder of resources is mapped to a preorder of tuples of resources, and one pulls back monotones that measure the amount of distinguishability of the different elements of the tuple (hence its information content). Monotones based on contractions arise naturally in the latter class, and, more surprisingly, so do weight and robustness measures. In addition to capturing many standard monotone constructions, our scheme also suggests significant generalizations of these. In order to properly capture the breadth of applicability of our results, we present them within a novel abstract framework for resource theories in which the notion of composition is independent of the types of the resources involved (i.e., whether they are states, channels, combs, etc.).

研究の動機と目的

• 資源の種類（例えば状態、チャネル、コンビネーション）に依存しない、資源理論における単調関数を構築する一般的で抽象的な枠組みの開発。
• ロバストネス、ウェイト、収量／コスト測度といった標準的な単調関数の構成が、さまざまな資源理論において有効であるための必要条件の同定。
• 順序を保つ写像と収縮に基づく一様な数学的枠組みに、一見異なる単調関数の構成を統一すること。
• ロバストネスとウェイト測度が3-収縮構成から自然に生じることを示し、それらの基礎的起源に関する長年の疑問を解消すること。
• 関数 f が資源の部分集合上でのみ定義されている場合、あるいは下閉集合（downset）に関して定義されている場合にも、単調関数の構成を拡張できることを示すこと。

提案手法

• 資源順序から、単調関数が既知または定義しやすいターゲット順序への順序を保つ写像を特定することで、一般化された単調関数の構成スキームを提案する。
• 主に2つのクラスを導入する：(1) 包含関係における集合の順序への写像により、集合上での関数の最大化／最小化による単調関数を可能にする。 (2) トゥプルの順序への写像により、識別可能性と情報量に基づく単調関数を可能にする。
• 2-収縮による単調関数の定義：$ M_f(r) = \inf\{ f(r,s) \mid s \in R_{\rm free} \} $、相対的エンタングルメント・エントロピーの一般化。
• 3-収縮による単調関数の導入：$ M_{f,D_1,D_2}(r) = \inf\{ f(r,s_1,s_2) \mid s_i \in D_i \} $、特定の $ f $、$ D_1 $、$ D_2 $ の選択により、資源ウェイトとロバストネスが回復される。
• 関数 $ f $ が資源の部分集合 $ W $ 上でのみ定義されている場合、あるいは下閉集合 $ D $ に関して定義されている場合にも、一般化された収量およびコスト測度を可能にする。
• 合成が資源の種類に依存しない抽象的資源理論にこの枠組みを適用し、量子情報、熱力学、古典的資源理論に広く適用可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ロバストネス、ウェイト、収量／コスト測度といった標準的な単調関数の構成が、さまざまな資源理論において有効であるための一般的な条件は何か？
• RQ2 順序を保つ写像を介して、単純な順序で既知の単調関数から、体系的に単調関数を導出する方法は何か？
• RQ3 なぜロバストネスとウェイト測度が3-収縮構成から自然に生じるのか？その基礎的起源は一般枠組みにおいてどのように説明できるか？
• RQ4 関数 f が資源の部分集合上でのみ定義されている場合、あるいは下閉集合に関して定義されている場合に、単調関数の構成を一般化できるか？
• RQ5 量子もつれ、熱力学、非古典的性質といった多様な資源理論に広く適用可能な単調関数の構成の背後にある抽象的構造は何か？

主な発見

• この枠組みは、2-および3-収縮に基づく一様なスキームにより、相対的エンタングルメント・エントロピー、ロバストネス、ウェイトといった既知の単調関数の構成を統一する。
• ロバストネスとウェイト測度が3-収縮構成から自然に生じることを示した：$ M_{\rm rob}(r) = \inf\{ \lambda \mid \lambda s + (1-\lambda)r \in R_{\rm free}, s \in R \} $、ここで $ f(r,s_1,s_2) = \mathsf{cva}(s_2,s_1,r) $。
• 資源ウェイト $ M_{\rm w}(r) $ は $ \inf\{ \lambda \mid r \in \lambda R + (1-\lambda) R_{\rm free} \} $ として回復され、これは $ D_1 = R $、$ D_2 = R_{\rm free} $、$ f = \mathsf{cva} $ の特定の3-収縮に対応する。
• 資源の集合上での関数の最大化または最小化に基づく単調関数（集合の包含順序に基づく）は、収量およびコストの構成を一般化し、下閉集合 $ D $ に関しても有効である。
• 関数 $ f $ が部分集合 $ W $ 上でのみ定義されている場合にも、$ f_W\textup{-}\mathsf{yield}(r) = \sup\{ f_W(s) \mid s \in R_{\rm free} \boxtimes r, s \in W \} $ のような構成が可能になる。
• このアプローチにより、トゥプルの識別可能性（例：情報量）に基づく単調関数が2-収縮構成と等価であることが明らかになり、情報理論的測度と資源理論的測度の深い関係が示された。