[論文レビュー] Monotonic Representations of Outerplanar Graphs as Edge Intersection Graphs of Paths on a Grid

Eranda Çela, Elisabeth Gaar|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の外部平面グラフが、たかだか2つの折り目をもつ経路（つまり、$b^m(G) \leq 2$）を用いた単調な辺交差表現をもつことを確立し、最大外部平面グラフおよびキャクティ（cacti）について、その単調折り目数（0, 1, 2）を、禁止部分グラフを用いて完全に特徴づけている。結果は構成的であり、最適な表現を生成する多項式時間アルゴリズムを導く。

ABSTRACT

In a representation of a graph $G$ as an edge intersection graph of paths on a grid (EPG) every vertex of $G$ is represented by a path on a grid and two paths share a grid edge iff the corresponding vertices are adjacent. In a monotonic EPG representation every path on the grid is ascending in both rows and columns. In a (monotonic) $B_k$-EPG representation every path on the grid has at most $k$ bends. The (monotonic) bend number $b(G)$ ($b^m(G)$) of a graph $G$ is the smallest natural number $k$ for which there exists a (monotonic) $B_k$-EPG representation of $G$. In this paper we deal with the monotonic bend number of outerplanar graphs and show that $b^m(G)\leqslant 2$ holds for every outerplanar graph $G$. Moreover, we characterize the maximal outerplanar graphs and the cacti with (monotonic) bend number equal to $0$, $1$ and $2$ in terms of forbidden induced subgraphs. As a byproduct we obtain low-degree polynomial time algorithms to construct (monotonic) EPG representations with the smallest possible number of bends for maximal outerplanar graphs and cacti.

研究の動機と目的

• 外部平面グラフ、特に最大外部平面グラフおよびキャクティの単調折り目数 $b^m(G)$ を特定すること。
• これらの部分クラスに属するグラフが単調折り目数0, 1, 2をとる条件を、禁止部分グラフを用いて特徴づけること。
• 最小の折り目数をもつ単調 $B_k$-EPG 表現を構築するための効率的アルゴリズムを開発すること。
• 制限付きグラフクラスにおける単調折り目数と標準折り目数の関係を明確にすること。

提案手法

• 外部平面グラフに対して、各経路がたかだか2つの折り目をもつ単調EPG表現を構成的に構築する手法が用いられている。
• 著者たちは、特定の禁止部分グラフ（例：$M_2$, $M_3$, $C_r$ ($r \geq 4$), および $S_3$）を同定し、それらが単調折り目数を決定づける。
• 最大外部平面グラフの場合、分類は $S_3$ が誘導部分グラフとして含まれるかどうかに依存する。
• キャクティの場合、折り目数と単調折り目数は一致し、1以下に有界であり、$b(G) = 0$ となるのは $G$ が $MC$-フリーであるときかつそのときに限り、$b(G) = 0$ である。
• アルゴリズム5.2は、$O(n^2)$ 時間でキャクティの $B_1^m$-EPG 表現を構築する。
• 証明は、外部平面グラフの構造的分解と、単調性制約を満たすグリッド上への経路埋め込みに基づいている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の外部平面グラフ $G$ に対して、単調折り目数 $b^m(G)$ の最大値は何か？
• RQ2 どの最大外部平面グラフが単調折り目数0, 1, 2をとるか、そしてその決定要因となる構造的特徴は何か？
• RQ3 キャクティにおいて、単調折り目数と標準折り目数は一致するか？もしそうならば、どのような条件下で一致するか？
• RQ4 これらのグラフクラスに対して、最適な単調EPG表現を計算する効率的アルゴリズムを構築できるか？
• RQ5 外部平面グラフにおいて、$b(G)$ と $b^m(G)$ の最良の上界が一致するという事実が、木幅2や平面グラフなどのより広いグラフクラスへ拡張可能か？

主な発見

• 任意の外部平面グラフ $G$ に対して、単調折り目数 $b^m(G)$ は2以下であり、この上限はタイトである。
• 最大外部平面グラフの場合、$b^m(G) = 0$ となるのは $G$ に誘導部分グラフとして $S_3$ を含まないときであり、そうでなければ $b^m(G) = 2$ であり、$G$ が $M$-フリーであれば $b(G) = 1$ である。
• キャクティにおいては $b(G) = b^m(G)$ であり、$b(G) = 0$ となるのは $G$ が $MC$-フリーであるときかつそのときに限り、そうでなければ $b(G) = b^m(G) = 1$ である。
• 本稿では、$O(n^2)$ 時間でキャクティの $B_1^m$-EPG 表現を構築する多項式時間アルゴリズムを提供している。
• 結果として、最大外部平面グラフにおいては $B_0$ と $B_1^m$ が一致しており、$B_1^m$ 経路を用いることで追加の表現力が得られないことが示された。
• 最大外部平面グラフおよびキャクティについて、折り目数が0, 1, 2であるグラフの特徴づけは、禁止誘導部分グラフに基づいて完全に得られている。