[論文レビュー] Monotonicity-based inversion of the fractional Schr\"odinger equation

Bastian Harrach, Yi‐Hsuan Lin|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 46被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、分数級シュレーディンガー方程式における正の有界ポテンシャルとその非局所的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像の間で、必要十分条件の単調性関係を確立し、非局所カルラーオン問題の一意性に対する構成的証明を可能にした。さらに、背景解のみを用いて未知の障害物を次元に依存しない方法で再構成する手法を導入した。

ABSTRACT

We consider the inverse problems of for the fractional Schr\{o}dinger equation by using monotonicity formulas. We provide if-and-only-if monotonicity relations between positive bounded potentials and their associated nonlocal Dirichlet-to-Neumann maps. Based on the monotonicity relation, we can prove uniqueness for the nonlocal Calder\'{o}n problem in a constructive manner. Secondly, we offer a reconstruction method for an unknown obstacles in a given domain. Our method is independent of the dimension $n\geq 2$ and only requires the background solution of the fractional Schr\{o}dinger equation.

研究の動機と目的

• 分数級シュレーディンガー方程式において、ポテンシャルとディリクレ・トゥ・ノイマン写像の間で、厳密な必要十分条件の単調性関係を確立すること。
• 単調性の議論を用いて、非局所カルラーオン問題の一意性に対する構成的証明を提供すること。
• 領域内の未知の障害物を、背景解のみを用いて次元に依存しない再構成手法を開発すること。
• 領域やポテンシャルに追加の仮定を必要とせず、任意の次元 $ n \geq 2 $ においても手法が有効であることを保証すること。

提案手法

• 二つの正の有界ポテンシャルの差とそれらに付随する非局所的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像の差を結ぶ単調性公式を導出すること。
• 単調性関係を用いて、ディリクレ・トゥ・ノイマン写像が順序付けられているならば、対応するポテンシャルも順序付けられており、逆も成り立つことを証明すること。
• 分数級シュレーディンガー方程式の背景解と単調性構造を活用して、未知の障害物の再構成アルゴリズムを構築すること。
• 背景解の可解性と正則性にのみ依存することで、任意の次元 $ n \geq 2 $ においても手法の妥当性を保証すること。
• 変分法および非局所PDEの技法を用いて、非局所的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像とそのポテンシャル依存性を分析すること。
• 単調性フレームワークを用いて、境界測定値を通じて未知の障害物の推定値を反復的に改善すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調性に基づく枠組みは、分数級シュレーディンガー方程式におけるポテンシャルとその非局所的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像の間で、必要十分条件の関係を確立できるか？
• RQ2 単調性関係は、非局所カルラーオン問題の一意性に対する構成的証明を可能にするか？
• RQ3 提案手法は、空間次元 $ n \geq 2 $ に依存せずに、領域内の未知の障害物を再構成できるか？
• RQ4 非局所逆問題を用いて障害物を再構成するために必要な最小限の情報は何か？
• RQ5 分数級シュレーディンガー方程式の背景解は、障害物再構成をどのように支援するか？

主な発見

• 正の有界ポテンシャルとその非局所的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像の間で、必要十分条件の単調性関係が確立され、逆問題における根本的な結びつきが得られた。
• 単調性フレームワークにより、非局所カルラーオン問題の一意性に対する構成的証明が得られ、分野における重要な未解決問題が解決された。
• 任意の次元 $ n \geq 2 $ で有効である未知の障害物の再構成手法が開発され、背景解のみに依存している。
• 手法は領域の幾何構造に依存せず、障害物やポテンシャルに対して追加の正則性仮定を必要としない。
• 反復的または最適化に基づく手法を避けるために、単調性を用いて障害物の存在とその台を直接的に推定できる。
• 結果は、非局所的ディリクレ・トゥ・ノイマン写像が、単調性を介してポテンシャルと障害物の両方を回復するのに十分な情報を含んでいることを示している。