[論文レビュー] Monotonicity for cookie random walk in random environment in high dimensions

Cong-Zan Pham|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、高次元の励起ランダムウォークにおける環境が確率的で、速度の単調性を分析するための新規な手法を提示する。この手法は、カット時刻とギルサノフ変換を用い、$e_1$-交換可能なクッキー環境の新しいクラスに対して大数の法則を確立し、従来の展開に基づく手法とは対照的に、より直感的でアクセスしやすい代替手段を提供する。

ABSTRACT

We introduce a method for studying monotonicity of the speed of excited random walks in high dimensions, based on a formula for the speed obtained via cut-times and Girsanov's transform. While the method gives rise to similar results as have been or can be obtained via the expansion method of van der Hofstad and Holmes, it may be more palatable to a general probabilistic audience. We also revisit the law of large numbers for stationary cookie environments. In particular, we introduce a new notion of $e_1-$exchangeable cookie environment and prove the law of large numbers for this case.

研究の動機と目的

• 高次元の励起ランダムウォークと確率的環境における速度の単調性を、確率論的に直感的な方法で研究するための手法を開発すること。
• ヴァン・デル・ホフスタットとホルムズの展開法とは対照的に、一般の確率論的読者にとってよりアクセスしやすい代替手法を提供すること。
• $e_1$-交換可能性の概念を用いて、定常クッキー環境の新しいクラスに大数の法則を拡張すること。
• カット時刻とギルサノフ変換を用いて、ウォークの速度の公式を確立し、単調性の分析を可能にすること。

提案手法

• この手法は、カット時刻を用いて励起ランダムウォークの軌道を独立なセグメントに分解し、解析を簡素化する。
• ギルサノフ変換が確率測度を再重み付けするために適用され、条件付き期待値の観点から速度の公式を導出可能となる。
• 定常的で$e_1$-交換可能なクッキー環境の下で速度の公式が導出され、大数の法則の結果が得られる。
• 異なる環境設定における速度の公式を比較することで、速度の単調性を分析する。
• 従来の研究で用いられた級数展開の技術的複雑さを避ける一方で、パスの分解と測度変更に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元の励起ランダムウォークにおける速度の単調性は、展開手法よりもアクセスしやすい方法で確立可能か？
• RQ2 $e_1$-交換可能なクッキー環境下で、励起ランダムウォークの速度はどのように振る舞うか？
• RQ3 カット時刻は、確率的環境における速度の解析をどのように簡素化するか？
• RQ4 ギルサノフ変換は、高次元における励起ランダムウォークの速度の公式を効果的に導出するために用いることができるか？

主な発見

• カット時刻とギルサノフ変換を用いて、励起ランダムウォークの速度の新しい公式が導出され、単調性の分析が可能になった。
• ヴァン・デル・ホフスタットとホルムズの展開法とは対照的に、本手法は解釈性の面で潜在的な利点を有する代替手段を提供する。
• $e_1$-交換可能なクッキー環境に対して大数の法則が証明され、従来の結果がより広いクラスの定常環境へと拡張された。
• 本稿では、環境の特定のパラメータに関して、ウォークの速度が単調である条件を確立した。