[論文レビュー] Monotonicity of entropy and positively oriented transversality for families of interval maps

Genadi Levin, Weixiao Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の向きの横断性を、1パrameter族の区間写像（解析的でない、または区分的滑らかでないものも含む）に対して示す一般枠組みを、正則写像と転送作用素を用いて開発する。$ f_c(x) = |x|^{\ell} + c $ や $ f_c(x) = b e^{-1/|x|^{\ell}} + c $ のような族に対して、位相的エントロピーとネーディング列の単調性を確立し、既知の結果に対する新しい証明を提供するとともに、分離性と転送作用素のスペクトル解析を用いて非解析的設定へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we will develop a very general approach which shows that critical relations of holomorphic maps on the complex plane unfold transversally in a positively oriented way. We will mainly illustrate this approach to obtain transversality for a wide class of one-parameter families of interval maps, for example maps with flat critical points, piecewise linear maps, maps with discontinuities but also for families of maps with complex analytic extensions such as certain polynomial-like maps.

研究の動機と目的

• 複素解析的手法が失敗する場合に、区間写像族における横断性を証明する一般的手法を確立すること。
• 既知の位相的エントロピーとネーディング列の単調性に関する結果を、非解析的ユニモーダルおよびマルチモーダル写像へと拡張すること。
• 写像の持ち上げ性を保証する条件（分離性に基づくもの）を構築し、それが横断性に繋がることを示すこと。
• 転送作用素 $ \mathcal{A} $ のスペクトル半径が 1 より小さいことを証明し、それが横断性およびエントロピーの単調性を示すこと。
• 平坦な臨界点、不連続性（Lorenz写像）、および区分的線形写像を含む多様な族にこの手法を適用すること。

提案手法

• 有限な前進不変マーク集合（例えば、後臨界集合）に沿った正則写像を用い、持ち上げ性を定義する。
• 力学的ダイナミクスを用いて写像を持ち上げることで、転送作用素 $ \mathcal{A} $ を生成し、そのスペクトル性質が横断性を決定する。
• 重要な帰結は：持ち上げ性 $ \Rightarrow \text{spec}(\mathcal{A}) \subset \mathbb{D} \Rightarrow $ 正の向きの横断性。
• 持ち上げ性は、複素平面における「分離性」から導かれることが示され、異なる領域で異なるダイナミクスが保証される。
• 特定の族、例えば $ f_c(x) = f(x) + c $ の場合、この手法は臨界値における分離条件の確認に帰着する。
• 転送作用素 $ \mathcal{A} $ は、可測リーマン写像定理とスペクトル半径の推定を用いて解析され、1 は固有値でないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1パrameter族の区間写像の位相的エントロピーは、パramータに関して単調に変化するか？
• RQ2 平坦な臨界点や非多項式的臨界点を持つような非解析的写像に対し、臨界関係の横断性を確立できるか？
• RQ3 写像が正則でない場合に、ユニモーダル写像のネーディング列はパramータに関して単調か？
• RQ4 転送作用素 $ \mathcal{A} $ のスペクトル半径が 1 より厳密に小さいことを示せるか？ その場合、横断性が保証される。
• RQ5 分離性は、一般の区間写像族に対して、正則写像の持ち上げ性を保証するか？

主な発見

• $ f_c(x) = b e^{-1/|x|^{\ell}} + c $ の族において、$ b > 2(e\ell)^{1/\ell} $ のとき、$ c \in [-\beta, \infty) $ でネーディング列は単調増加である。ここで $ \beta $ は $ f_{-\beta}(\beta) = \beta $ を満たす。
• $ f_c(x) = |x|^{\ell} + c $ の族に対して、転送作用素 $ \mathcal{A} $ のスペクトル半径は $ \ell $ が偶数整数のとき 1 より小さい。これは横断性を示唆する。
• 平坦な臨界点を持つ2パラメータ族のLorenz写像 $ f_{c_1,c_2}(x) $ に対して、$ \mathcal{A} $ のスペクトル半径は1より厳密に小さい。これは横断性を保証する。
• 対称Lorenz写像 $ f_{c,-c} $ の位相的エントロピーの単調性は、テント写像族における単調性から導かれる。なぜなら $ h_{\text{top}}(f_t) = h_{\text{top}}(T_t) $ であるから。
• 分離性と持ち上げ条件の確認により、区分的線形マルチモーダル写像および不連続性を有する写像に対しても、この手法により横断性が証明される。
• 多項式および有理関数族に対しては、可測リーマン写像定理により持ち上げ性が成立し、正の向きの横断性および単調エントロピーが得られる。