[論文レビュー] Monotonicity of non-pluripolar Monge-Amp\`ere masses

David Witt Nyström|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Geometry and complex manifolds被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、コンpakto Kahler多様体上のθ-擬正則関数の非多様体Monge-Ampère質量が、特異性の増加に伴い単調に減少することを証明し、Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahiの予想を確認した。証明は、$X \times \mathbb{P}^N$ 上の関数族の構成に起因し、単体上での積分を用いた比較原理と、Monge-Ampère質量の連続性を活用して、$\varphi$ が $\psi$ より特異性が小さいとき、$\int_X \mathrm{MA}_\theta(\varphi) \geq \int_X \mathrm{MA}_\theta(\psi)$ が成り立つことを示した。これは、小規模な非有界集合の仮定がなくても成り立つ。

ABSTRACT

We prove that on a compact K\"ahler manifold, the non-pluripolar Monge-Amp\`ere mass of a $ heta$-psh function decreases as the singularities increase. This was conjectured by Boucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahi who proved it under the additional assumption of the functions having small unbounded locus. As a corollary we get a comparison principle for $ heta$-psh functions, analogous to the comparison principle for psh functions due to Bedford-Taylor.

研究の動機と目的

• θ-擬正則関数に対する非多様体Monge-Ampère質量の単調性に関するBoucksom-Eyssidieux-Guedj-Zeriahiの予想を解決すること。
• psh関数における古典的Bedford-Taylor結果に類似した、θ-擬正則関数に対する比較原理を確立すること。
• Monge-Ampère質量の単調性に関する先行研究における、小規模非有界集合の制限的仮定を排除すること。
• 非多様体設定全体、特に大きな非有界集合を有する関数を含む場合にも、比較原理を拡張すること。

提案手法

• 大規模な $N$ に対して、同次座標と対数項を含む上界構成を用いて、$X \times \mathbb{P}^N$ 上のθ-擬正則関数族 $\Phi$ と $\Psi$ を構成する。
• $\tilde{\theta}$-擬正則関数 $\Phi$ と $\Psi$ が $\varphi$ と $\psi$ の特異性順序を引き継ぐように、$X \times \mathbb{P}^N$ 上に新しい形式 $\tilde{\theta}$ を定義する。
• 小規模非有界集合を有する関数に対して既知の単調性結果 [BEGZ10] を用いて、$\int_{X \times \mathbb{P}^N} \mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Phi) \geq \int_{X \times \mathbb{P}^N} \mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Psi)$ を確立する。
• 単体 $[0,1]$ 上での積分を用いて、$\mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Phi)$ と $\mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Psi)$ の押し出しを表現する公式を導出し、それらを $\mathrm{MA}_\theta(\varphi)$ と $\mathrm{MA}_\theta(\psi)$ に結びつける。
• パrameter $t$ におけるMonge-Ampère質量の連続性を適用し、$N \to \infty$ での極限を取ることで、$X$ 上での所望の不等式を回復する。
• 得られた不等式と多変数微小局所性を用いて、部分集合 $\{\varphi < \psi\}$ 上での比較原理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 θ-擬正則関数の非多様体Monge-Ampère質量は、特異性が増加するに従い減少するのか。特に、小規模非有界集合の仮定がなくても成り立つか。
• RQ2 Bedford-Taylorがpsh関数に対して確立した比較原理は、非多様体設定におけるθ-擬正則関数へと拡張可能か。
• RQ3 特異性が大きい場合に、近似列の極限においてもMonge-Ampère質量の単調性が保たれるか。
• RQ4 $X \times \mathbb{P}^N$ 上での測地線または関連関数の構成は、複素幾何におけるグローバル質量不等式を導出するのに用いられるか。

主な発見

• 本稿は、$\varphi$ が $\psi$ より特異性が小さいとき、$\int_X \mathrm{MA}_\theta(\varphi) \geq \int_X \mathrm{MA}_\theta(\psi)$ が成り立つという予想を確認した。これは、両関数が大きな非有界集合を有する場合でも成り立つ。
• θ-擬正則関数に対して、比較原理 $\int_{\{\varphi < \psi\}} \mathrm{MA}_\theta(\psi) \leq \int_{\{\varphi < \psi\}} \mathrm{MA}_\theta(\varphi)$ が成立し、Bedford-Taylorの結果が非多様体ケースに一般化された。
• $X \times \mathbb{P}^N$ 上での $\Phi$ のMonge-Ampère質量は、$(\pi_X)_* \mathrm{MA}_{\tilde{\theta}}(\Phi) = N \int_0^1 \mathrm{MA}_\theta((1-t)\varphi_0 + t\varphi) t^{N-1} dt$ を満たすことが示され、積空間上の質量と $X$ 上の元の質量を結びつける。
• $N \to \infty$ での正規化積分の極限は、元のMonge-Ampère質量を回復し、極限による議論によって単調性不等式が証明された。
• 関数 $\varphi$ と $\psi$ が局所的に有界でない場合でも、この結果は成り立つ。これにより、非多様体Monge-Ampère理論の適用範囲が一般のθ-擬正則関数へと拡張された。
• 測地線の構成にインspiredされた証明技法により、測地線の質量が非ゼロである必要がないという制限なしに、非多様体質量を扱うための新たな手法が提供された。