[論文レビュー] Monotonicity of $p$-norms of multiple operators via unitary swivels

Mark M. Wilde|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ユニタリスイベルを挟み込む正定値自己共役作用素の積のpノルムの単調性を確立し、$\max_{V_{C_1},\ldots,V_{C_L}}\left\|C_1^{1/p}V_{C_1}\cdots C_L^{1/p}V_{C_L}\right\|_p^p$ が $p \geq 1$ において非増加であることを示している。証明は複素補間とStein–Hirschman定理に依拠しており、密度作用素から一般の正定値自己共役作用素への結果の拡張を可能にし、Rényiエントロピーおよび作用素平均に関する新たな不等式を導出する。

ABSTRACT

Following the various statements of [DW16] to their logical conclusion, this note explicitly argues the following statement, implicit in [DW16]: for positive semi-definite operators $C_{1},\ldots,\,C_{L} $, a unitary $V_{C_{i}}$ commuting with $C_{i}$, and $p\geq1$, the quantity $$ \max_{V_{C_{1}},\ldots,V_{C_{L}}}\left\Vert C_{1}^{1/p}V_{C_{1}}\cdots C_{L}^{1/p}V_{C_{L}} ight\Vert _{p}^{p} $$ is monotone non-increasing with respect to $p$. The idea from [DW16] is that by allowing unitary swivels connecting a long chain of positive semi-definite operators together, we can establish such a statement, which might not hold generally without the presence of the unitary swivels. Other related statements follow directly from [DW16] as well, being implicit there, and are given explicitly in this note.

研究の動機と目的

• 密度作用素から一般の正定値自己共役作用素へのpノルムの単調性の拡張。
• ユニタリスイベルの導入が、それなしでは成立しない非自明な単調性結果を可能にすることの確立。
• 一般化されたRényiエントロピーおよびSchatten pノルムを含む不等式の明示的証明と一般化。
• Stein–Hirschman作用素補間定理を用いたpノルムの積分表現の導出。

提案手法

• 複素補間理論、特にStein–Hirschman定理を用いて、ユニタリスイベルを含む作用素の積のSchatten pノルムを評価する。
• 関数 $G(z)$ を、$G(z) = C_1^{z/q}V_{C_1}\cdots C_L^{z/q}V_{C_L}$ として、$\{z \in \mathbb{C} : 0 \leq \operatorname{Re}(z) \leq 1\}$ 上の正則作用素値関数として定義する。
• 虚軸および実軸境界におけるノルムの重み付けに用いる確率密度関数 $\alpha_\theta(t)$ および $\beta_\theta(t)$ を用いて、$\|G(\theta)\|_{p_\theta}$ を評価する。
• $1 \leq q \leq p$ に対して、$\log\|G(\theta)\|_{p_\theta} \leq \int_{-\infty}^{\infty} dt\, \beta_{q/p}(t) \log\|C_1^{(1+it)/q}\cdots C_L^{(1+it)/q}\|_q^q$ という主要な不等式を導出する。
• Lie–Trotter積分公式を用いて $p \to \infty$ の極限を取ることで、作用素の対数の和の指数関数を含むトレース不等式が得られる。
• 証明技法を [DW16] から拡張することで、正定値自己共役作用素（密度作用素に限定されない）に対しても結果が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリスイベルを挟む正定値自己共役作用素の鎖のpノルムは、$p$ に関して単調性を示すか？
• RQ2 この単調性の結果は、密度作用素を越えて一般の正定値自己共役作用素へ拡張可能か？
• RQ3 複素補間を介して、このような作用素鎖のpノルムを支配する積分表現は何か？
• RQ4 ユニタリスイベルが存在することで、それなしでは成立しない単調性が実現される仕組みは何か？
• RQ5 $p \to \infty$ の極限において、pノルムの振る舞いはいかなるものか？

主な発見

• すべての $p \geq 1$ に対して、$\max_{V_{C_1},\ldots,V_{C_L}}\left\|C_1^{1/p}V_{C_1}\cdots C_L^{1/p}V_{C_L}\right\|_p^p$ は単調非増加である。
• $1 \leq q \leq p$ に対して、不等式 $\log\left\|C_1^{1/p}C_2^{1/p}\cdots C_L^{1/p}\right\|_p^p \leq \int_{-\infty}^{\infty} dt\, \beta_{q/p}(t) \log\left\|C_1^{(1+it)/q}\cdots C_L^{(1+it)/q}\right\|_q^q$ が成り立つ。
• $p \to \infty$ の極限で、$\log\operatorname{Tr}\left\{\exp(\log C_1 + \cdots + \log C_L)\right\} \leq \int_{-\infty}^{\infty} dt\, \beta_0(t) \log\left\|C_1^{(1+it)/q}\cdots C_L^{(1+it)/q}\right\|_q^q$ が得られ、ここで $\beta_0(t) = \pi / \left(2[\cosh(\pi t) + 1]\right)$ である。
• 結果は、トレースが1の密度作用素に限定されず、一般の正定値自己共役作用素に対しても成立する。
• ユニタリスイベルは本質的である：それなしでは、複数作用素に対して一般に単調性は成立しない。
• $\beta_\theta(t)$ および $\alpha_\theta(t)$ は $\mathbb{R}$ 上で明示的に定義され、正規化されている。