[論文レビュー] Monotonicity of Pairs of Operators and Generalized Inertial Proximal Method

Ba Khiet Le, Zakaria Mazgouri+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2026

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ひとこと要約

本論文は monotonicity に基づくオペレータペア上の warped resolvent を用いた Generalized Inertial Proximal Point Algorithm (GIPPA) を提案し、その収束性（弱・強・線形）を数値で示す。

ABSTRACT

Monotonicity of pairs of operators is an extension of monotonicity of operators, which plays an important role in solving non-monotone inclusions. One of challenging problems in this new tool is how to design the associated mappings to obtain the monotone pairs. In this paper, we solve this problem and propose a Generalized Inertial Proximal Point Algorithm (GIPPA) using warped resolvents under the monotonicity of pairs. The weak, strong and linear convergence of the algorithm under some mild assumptions are established. We also provide numerical examples illustrating the implementability and effectiveness of the proposed method.

研究の動機と目的

• 単調性の概念をオペレータのペアへ拡張し、非単調包含を扱う。
• warped resolvent を活用する Generalized Inertial Proximal Point Algorithm (GIPPA) を開発する。
• 緩い仮定の下で弱・強・線形収束を確立する。
• 実務的にペアの単調性を保証する関連写像の構成を提供する。
• 数値実験を通じて実現可能性と有効性を示す。

提案手法

• 包絡解 J_{F}^{v} を定義・利用し、単調なペア (F,v) による含意を解く。
• (F,v) を単調にするように関連写像 v を構成し、二次計画法や対角分解手法を含む。
• 慣性項と warped resolvent ステップを持つ Generalized Inertial Proximal Point Algorithm (GIPPA) を提案する。
• Assumptions on F, v, および gamma_n の下で一連の補題・定理を通じて収束を分析する。
• さまざまな単調性・正則性条件の下で弱・強・線形収束を証明する。
• GIPPA を GPPA および PPA の特別な場合として関係づけ、その非単調包含への影響を議論する。

(a) For $\gamma_{n}=0.1+\frac{0.3}{n+10}$ and various $\alpha_{n}$

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたオペレータ対 (F,v) を単調にするようにカーネル写像 v をどのように構築するか。
• RQ2 warped resolvent が非単調包含に対して well-defined な反復を与える条件は何か。
• RQ3 単調なペアの下で GIPPA に対する収束保証（弱・強・線形）は何か。
• RQ4 warped resolvent を用いる際、慣性項は収束にどのような影響を与えるか。
• RQ5 提案された構成は二次計画法や準ニュートン型法など具体的な設定にどのように適用されるか。

主な発見

• 与えられた F に対して (F,v) を単調にする伴う写像 v を構築する枠組みを提示し、反復を実現可能にする。
• Warped resolvents は古典的な resolvent、D-resolvent、および非単調包含解析を結ぶ統一的なツールを提供する。
• Generalized Inertial Proximal Point Algorithm (GIPPA) は弱収束または強収束し、緩い条件の下で線形収束を達成できる。
• 局所的な強単調性が quasi-Newton 型アプローチで確立され、局所的な線形収束を可能にする。
• GIPPA は慣性パラメータがゼロのとき GPPA に、カーネルが恒等であるとき PPA にそれぞれ縮退し、柔軟性と一般性を示す。
• 数値実験は GPPA と比較して GIPPA の実装性と有効性を示す。

(b) For $\alpha_{n}=\min\{0.3,\frac{n}{n+10}\}$ and various $\gamma_{n}$