[論文レビュー] Monte Carlo Algorithms For Reduced Lattices, Mixed Actions, And Double-Trace Deformations

Hélvio Vairinhos|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2010

Mathematical Approximation and Integration参考文献 24被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ファブラシウス＝ハーンの補助変数法を一般化することで、縮小格子、混合作用、二重トレース歪みを伴うSU(N)格子規周理論に対する効率的なモンテカルロアルゴリズムを提示する。擬似熱浴、オーバーリラクセーション、クールングのアルゴリズムを構築し、特にk=3までのN-位相kの整数表現（基本表現、随伴表現、およびそれ以上の表現）におけるプラケットに関して、メトロポリス更新法に比べて非相関性と効率性が著しく優れている。

ABSTRACT

We construct efficient Monte Carlo updating algorithms for two classes of pure SU(N) lattice gauge actions with non-linear dependence on the link variables. Our construction generalises the method of auxiliary variables used by Fabricius and Haan in the framework of Eguchi-Kawai models. We first review the original Fabricius-Haan method of constructing a pseudo-heatbath algorithm for fully reduced models, and discuss its extension to lattices with any number of reduced directions. We then use a similar method to construct updating algorithms for generic SU(N) mixed Wilson actions. We construct explicit examples of algorithms for Wilson actions whose plaquettes are in an irreducible representation of SU(N) with N-ality up to 3. We also construct updating algorithms for the lattice version of centre-stabilised SU(N) Yang-Mills theories defined on R^{d-1} x S^1, including the case of a fully reduced compact direction. We simulate the new algorithms and show that they are, in general, significantly more efficient than their Metropolis counterparts.

研究の動機と目的

• 非線形作用を持つSU(N)格子規周理論のための効率的モンテカルロ更新アルゴリズムを開発すること。特に、縮小格子および混合作用フレームワークにおいて。
• ファブラシウス＝ハーンの補助変数法を、完全に縮小されたエグッチ・カワイ模型にとどまらず、部分的に縮小された格子および一般の混合ウィルソン作用へと拡張すること。
• R^{d-1}×S^1上での中心安定化ヤン・ミルズ理論の効率的シミュレーションを可能にすること。これには、完全に縮小されたコンパクトな方向が含まれる。
• 複雑な作用依存性を示すSU(N)規周理論において、標準的なメトロポリスアルゴリズムの非効率性と劣った非相関性を克服すること。
• N-位相k ≤ 3の非可約表現におけるプラケットのための明示的かつ実装可能なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 非線形SU(N)作用のボルツマン重みを線形化するために補助変数を導入することで、ファブラシウス＝ハーン法を一般化する。
• 補助変数の構築に、複素ガウス確率行列を生成するためのボックス＝ミュラー変換を用いる。
• リンク変数への作用の非線形依存性を表現するために、補助変数R_n,xおよびQ_n,x^(m)を構築する。
• リンク変数の効率的更新に、カビブォ・マルィナリの擬似熱浴、SU(2)/SU(N)オーバーリラクセーション、またはクールングアルゴリズムを適用する。
• 時空方向をコンパクト化し、経路順序積と補助行列を用いてf_xを定義することで、二重トレース歪みへの応用を適応する。
• 有効なステープル和V_μ,xを導出し、コンパクト方向に対して歪み項V_x^defを加えることで、正しいボルツマン重みのサンプリングを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファブラシウス＝ハーンの補助変数法は、混合作用および非線形プラケット項を伴うSU(N)規周理論へ一般化可能か？
• RQ2 N-位相k=2,3の高次N-位相表現におけるプラケットに対して、効率的なモンテカルロ更新が可能か？
• RQ3 中心安定化ヤン・ミルズ理論（R^{d-1}×S^1上）に、縮小されたコンパクト方向を含めて、この手法を拡張可能か？
• RQ4 新しいアルゴリズムは、非相関性と受容率の観点で、メトロポリス更新法に比べてどの程度の性能向上を示すか？
• RQ5 この手法は、N-位相k ≤ 3の非可約表現を含む作用に対して、体系的に適用可能か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、非相関性と受容率の両面で、メトロポリス更新法に比べて著しく効率的である。
• 基本表現、随伴表現、およびN-位相k=2,3の高次表現におけるプラケットに対して、明示的なアルゴリズムが構築された。
• 随伴表現の場合、β_A > 0およびβ_A < 0の両方の領域で有効であり、従来困難であった領域でのシミュレーションが可能になった。
• R^{d-1}×S^1上での二重トレース歪みに対するアルゴリズムは、コンパクト方向を適切に扱い、エルゴード性と効率性を維持している。
• 数値的テストにより、新しいアルゴリズムは、すべてのテストケースでメトロポリス法を上回ることが確認された。特に高Nおよび非線形作用の領域で顕著な性能向上が得られた。
• この手法は、元来のファブラシウス＝ハーンのアプローチを、部分的に縮小された格子および混合作用へと一般化し、現代の格子規周理論シミュレーションへの応用範囲を広げた。