[論文レビュー] Moonshine for Rudvalis's sporadic group II

John F. R. Duncan|ArXiv.org|Nov 13, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ランク $-28$ の自己双対な強化された頂点 operator 超代数を構成し、その全自己同型群が Rudvalis 偶数群の巡回被覆であることを示した。これは、以前のランク $28$ の構成を補完するものであり、群のすべての McKay–Thompson 級数を計算し、それらが一緒にして genus zero 性質を満たすことを示した。これにより、モンスター群を超える moonshine 現象が拡張された。

ABSTRACT

In Part I we introduced the notion of enhanced vertex operator superalgebra, and constructed an example which is self-dual, has rank 28, and whose full symmetry group is a seven-fold cover of the sporadic simple group of Rudvalis. In this article we construct a second enhanced vertex operator superalgebra whose full automorphism group is a cyclic cover of the Rudvalis group. This new example is self-dual and has rank -28. As in Part I, we can compute all the McKay--Thompson series associated to the action of the Rudvalis group explicitly. We observe that these series, when considered together with those of Part I, satisfy a genus zero property.

研究の動機と目的

• モンスター群に含まれない Rudvalis 偶数群に moonshine 現象を拡張すること。
• Rudvalis 群の巡回被覆を全自己同型群とする新しい強化された頂点演算子超代数を構成すること。
• Rudvalis 群のすべての McKay–Thompson 級数を計算し、そのモジュラー性質を検証すること。
• 本研究と以前の構成の級数を合わせたものがある genus zero 性質を満たすことを示すこと。
• モンスター群に含まれない偶数群に対して、一般化 moonshine を実現する証拠を提供すること。

提案手法

• Rudvalis 群の巡回被覆を全自己同型群とする、自己双対でランク $-28$ の第二の強化された頂点演算子超代数を構成する。
• Weyl 代数とメタプレクティック群の構造を用いて、基礎となる頂点代数的枠組みを定義する。
• 強化された構造を有する頂点代数および頂点演算子超代数の理論を適用し、自己双対性と強い消滅条件を保証する。
• フレーム型と特性式の公式を用いて、同次部分空間上のトレースを通じて McKay–Thompson 級数を計算する。
• モジュラー関数を $\tau \mapsto \tau/2$ でスケーリングし、Fricke 対合を適用して genus zero モジュラー群を同定する。
• 関数空間 $\tilde{F}_g^A$ と $\tilde{F}_g^{\forall}$ が genus zero の $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ の離散部分群によって保存されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モンスター群に含まれない Rudvalis 偶数群に対し、moonshine 現象が実現可能か。
• RQ2 Rudvalis 群の McKay–Thompson 級数が、genus zero モジュラー群に関連する関数体を生成するか。
• RQ3 Rudvalis 群に対して、モンスター群を超える統一的な moonshine フレームワークが存在するか。
• RQ4 新しいランク $-28$ の構成と以前のランク $28$ の例を合わせたモジュラー関数が、genus zero 性質を満たすか。
• RQ5 強化された頂点演算子超代数の構成が、モンスター群に含まれない偶数群の moonshine を実現するために用いられるか。

主な発見

• ランク $-28$ の自己双対な強化された頂点演算子超代数が、Rudvalis 群の巡回被覆を全自己同型群とする形で構成された。
• Rudvalis 群のすべての共轭類 $g$ に対して、McKay–Thompson 級数 $\tilde{F}_g^A(\tau)$ と $\tilde{F}_g^{\forall}(\tau)$ が明示的に計算された。
• 各 $g$ に対して、関数 $\tilde{F}_g^A$ と $\tilde{F}_g^{\forall}$ は、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$ の genus zero 離散部分群（例：$\Gamma_0(2)+2$, $\Gamma_0(10)$, $\Gamma_0(26)+26$, $\Gamma_0(29)+29$）によって保存される2次元表現を張る。
• Fricke 対合 $\tau \mapsto -1/N\tau$ は、クラス $2B$, $10B$, $14ABC$, $26ABC$, $29AB$ に対して、二つの関数 $\tilde{F}_g^A$ と $\tilde{F}_g^{\forall}$ を入れ替えることで、モジュラー双対性を確認した。
• 本研究の McKay–Thompson 級数と以前のランク $28$ の例の級数を合わせた集合は、genus zero 性質を満たし、Rudvalis 群への moonshine の拡張が成立した。
• クラス $2B$, $10B$, $14ABC$, $26ABC$, $29AB$ のモジュラー関数は、Dedekind eta 関数の積の比として表現され、具体的には $\tilde{F}_{2B}^A(\tau) = 2^{14} \frac{\eta(4\tau)^{28}}{\eta(2\tau)^{28}}$ のような明示的公式が得られた。