[論文レビュー] Mordell-Weil groups and Selmer groups of two types of elliptic curves

Derong Qiu, Xianke Zhang|ArXiv.org|Mar 15, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$ p, q $ を $ q = p+2 $ を満たす双子素数とする楕円曲線 $ E_\sigma: y^2 = x(x + \sigma p)(x + \sigma q) $ の族に対して、2-セレマー群、$ \varphi $-セレマー群、$ \hat{\varphi} $-セレマー群を明示的に計算する。Mordell-WeilランクとShafarevich-Tate群の2-主部分群は $ p \mod 8 $ に応じて特定され、$ p \mod 8 $ の剰余に応じてランクとShafarevich-Tate群の2- torsion の次元の和は 0, 1, 2 となる。また、導手 $ 2^5 p q $ におけるモジュラー性が証明されている。

ABSTRACT

Consider elliptic curves $ E=E_σ: y^2 = x (x+σp) (x+σq), $ where$ σ=\pm 1, $ $p$ and $ q$ are prime numbers with $p+2=q$. (1) The Selmer groups $ S^{(2)}(E/{\mathbf{Q}}), S^{(ϕ)}(E/{\mathbf{Q})}$, and $\ S^{(\hatϕ)}(E/{\mathbf{Q})} $ are explicitly determined, e.g., $\ S^{(2)}(E_{+1}/{\mathbf{Q}})= $ $({\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}})^2; $ $ ({\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}})^3; $ or $ ({\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}})^4 $ when $p\equiv 5; 1 $ or $3; $ or $ 7 ({\mathrm{mod}} 8)$ respectively. (2) When $p\equiv 5 (3, 5$ for $σ=-1) ({\mathrm{mod}} 8), $ it is proved that the Mordell-Weil group $ E({\mathbf{Q})} \cong $ $ {\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}} \oplus{\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}} $ having rank $0, $ and Shafarevich-Tate group {\CC ':} $(E/{\mathbf{Q}})[2]=0. $ (3) In any case, the sum of rank$E({\mathbf{Q})}$ and dimension of {\CC ':} $(E/{\mathbf{Q}})[2] $ is given, e.g., $0; 1; 2 $ when $p\equiv 5; 1 $ or $3; 7 ({\mathrm{mod}} 8)$ for $σ=1$. (4) The Kodaira symbol, the torsion subgroup $E(K)_{tors}$ for any number field $K$, etc. are also obtained. This paper is a revised version of ANT-0229.

研究の動機と目的

• 双子素数によって定義される特定の楕円曲線族のセレマー群およびMordell-Weil群の構造を理解すること。
• これらの曲線のMordell-WeilランクとShafarevich-Tate群の2-主部分群を特徴付けること。
• 任意の数体上のねじれ部分群およびNéronモデルのKodaira型を特定すること。
• これらの曲線のL関数に対するモジュラー性および関数等式を確立すること。
• $ p \mod 8 $ に基づいて、2-セレマー群および関連するセレマー群の明示的分類を提供すること。

提案手法

• 2-セレマー群 $ S^{(2)}(E/\mathbb{Q}) $ は、有理点と2-自己同型を用いた明示的降下により計算される。
• セレマー群 $ S^{(\varphi)}(E/\mathbb{Q}) $ および $ S^{(\hat{\varphi})}(E/\mathbb{Q}) $ は、自己同型降下技術と2- torsion 構造を用いて決定される。
• Kodaira記号とTamagawa数は、Néronモデルと素数 $ \ell = 2, p, q $ における還元型を用いて計算される。
• 導手 $ N_E = 2^5 p q $ は局所指数 $ f_\ell $ から導かれる。L関数の関数等式を用いてモジュラー性が確立される。
• セレマー群とShafarevich-Tate群の関係を記述する正確な完全列が用いられ、$ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] $ がランクとセレマー群の次元とどのように関連するかが示される。
• 有理点が付随する曲線 $ C' $ を用いて、ディオファントス方程式の解と $ E $ 上の点を結びつけ、降下の議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双子素数 $ p, q $ を持つ楕円曲線 $ E_\sigma: y^2 = x(x + \sigma p)(x + \sigma q) $ に対して、2-セレマー群 $ S^{(2)}(E/\mathbb{Q}) $ の構造は何か？
• RQ2 Mordell-Weil群 $ E(\mathbb{Q}) $ のランクは $ p \mod 8 $ の剰余にどのように依存するか？
• RQ3 Shafarevich-Tate群 $ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] $ の2-主部分群の次元は何か？また、ランクとはどのように関係するか？
• RQ4 素数 $ \ell = 2, p, q $ におけるKodaira記号とTamagawa数は何か？
• RQ5 これらの曲線のモジュラー性は、L関数と関数等式においてどのように現れるか？

主な発見

• 2-セレマー群 $ S^{(2)}(E_{+1}/\mathbb{Q}) $ は、$ p \equiv 5, 1, 3, $ または $ 7 \mod 8 $ の場合にそれぞれ $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $、$ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 $、$ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4 $ に同型である。
• $ p \equiv 5 \mod 8 $ のとき、Mordell-Weil群 $ E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ であるため、ランクは 0 で、$ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] = 0 $ である。
• $ \sigma = 1 $ のとき、$ E(\mathbb{Q}) $ のランクと $ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] $ の次元の和は、それぞれ $ p \equiv 5, 1 \text{ または } 3, \text{ または } 7 \mod 8 $ の場合に 0, 1, 2 となる。
• $ \ell = 2 $ におけるKodaira記号は $ III $ であり、$ \ell = p, q $ では $ I_2 $ である。各点でTamagawa数は 2 である。
• 曲線 $ E $ の導手は $ N_E = 2^5 p q $ であり、L関数は関数等式 $ \xi(E, 2-s) = \pm \xi(E, s) $ を満たし、モジュラー性が確認される。
• 任意の数体 $ K $ 上のねじれ部分群 $ E(K)_{\text{tors}} $ は、3 における分岐の有無に応じて $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $ または $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} $ である。