[論文レビュー] Mordell-Weil ranks and Tate-Shafarevich groups of elliptic curves with mixed-reduction type over cyclotomic extensions

Antonio Lei, Meng Fai Lim|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、p における混合還元型を示す楕円曲線について、数体のサイクロトロピック Zp-拡大におけるモーデル・ヴェイユランクの一様有界性と、タート・シャファレヴィチ群のp部の成長に関する漸近公式を確立する。符号付きセレマー群とイwasawa理論を用いて、双対セレマー群の torsion 偽定仮定のもとで、モーデル・ヴェイユランクが有界であり、タート・シャファレヴィチ群のp-primary部の成長が、µ-および λ-不変量を含む明確な公式に従うことを証明する。これは、従来の特異的および通常の場合の結果を一般化するものである。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over a number field $K$ where $p$ splits completely. Suppose that $E$ has good reduction at all primes above $p$. Generalizing previous works of Kobayashi and Sprung, we define multiply signed Selmer groups over the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension of a finite extension $F$ of $K$ where $p$ is unramified. Under the hypothesis that the Pontryagin duals of these Selmer groups are torsion over the corresponding Iwasawa algebra, we show that the Mordell-Weil ranks of $E$ over a subextension of the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension are bounded. Furthermore, we derive an aysmptotic formula of the growth of the $p$-parts of the Tate-Shafarevich groups of $E$ over these extensions.

研究の動機と目的

• 数体のサイクロトロピック Zp-拡大において、p で混合還元型を示す楕円曲線のモーデル・ヴェイユランクの一様有界性を確立すること。
• このような拡大におけるタート・シャファレヴィチ群のp部の成長に関する漸近公式を導出すること。
• 従来の特異的および通常の場合におけるセレマー群の成長に関する結果を、混合還元設定に一般化すること。
• 非通常楕円曲線のイwasawa理論の文脈において、複数の符号をもつセレマー群を構築し、それを応用すること。

提案手法

• 数体 F のサイクロトロピック Zp-拡大における、複数の符号をパラメータとする符号付きセレマー群を導入する。符号は特異的素数での選択に依存する。
• コロンベア写像と対数行列を用いて、特異的素数における局所的条件を定義し、小林とスプリンクの研究を一般化する。
• イwasawa理論を符号付きセレマー群のポンティリャーギン双対に適用し、それらがイwasawa環上で torsion であるものと仮定する（仮定 S3）。
• 小林ランクと加群論的技法を用いて、コホモロジー群およびセレマー加群の成長を分析する。
• ポイトゥ・テート完全系列と制御定理を用いて、グローバルなセレマー群と局所コホモロジー、タート・シャファレヴィチ群を関連付ける。
• 符号付きセレマー群の µ-および λ-不変量とオイラーのトータル関数を用いて、e(Xp(E/Fn)) の成長に関する明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p において混合還元型を示す数体のサイクロトロピック Zp-拡大において、楕円曲線のモーデル・ヴェイユランクがいつ有界となるか。
• RQ2 混合還元の場合に、タート・シャファレヴィチ群のp-primary部がサイクロトロピック Zp-拡大の有限層においてどのように成長するか。
• RQ3 タート・シャファレヴィチ群の成長公式を、通常および特異的の場合にとどまらず、混合還元の挙動を含むように一般化できるか。
• RQ4 符号付きセレマー群は、非通常楕円曲線のイwasawa理論において、セレマー群およびタート・シャファレヴィチ群の成長をどのように制御するか。

主な発見

• 仮定 (S1)–(S3) の下で、E が Fn 上のモーデル・ヴェイユランクは n とは無関係に有界である。Euler システムの存在を仮定しないでも成り立つ。
• タート・シャファレヴィチ群のp部の成長は漸近公式を満たす：奇数 n に対しては e(Xp(E/Fn)) − e(Xp(E/Fn−1)) = S(⃗σ, n) + φ(pn)µ⃗σ + λ⃗σ − r∞、偶数 n に対しては T(⃗τ, n) + φ(pn)µ⃗τ + λ⃗τ − r∞ が成り立つ。
• 成長公式におけるベクトル ⃗σ および ⃗τ は n の偶奇に依存し、特異的素数における符号の選択に依存する。
• すべての v ∈ Σ′ss に対して av = 0 である場合、公式は単純化され、ベクトル ⃗σ および ⃗τ はそれぞれ定数ベクトル ⃗♭ および ⃗♯ に等しくなる。
• 定数 S(⃗σ, n) および T(⃗τ, n) は、p の累乗の線形結合として明示的に与えられ、[Fw : Qp] の次数および 1/p^{2i−1} の交互和を含む。
• Kurihara, Kobayashi, Pollack, および Sprung の従来の公式は、混合還元の場合に一般化され、通常および特異的成長パターンが統一された。