[論文レビュー] More about vanishing cycles and mutation

Paul Seidel|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、4次元多様体内のラグランジュ球面のフロアコホモロジーと、勾配付きフューカヤカテゴリの導来カテゴリの間の深い関係を仮説することで、シンプレクティック・ピカール＝レフシェッツ理論を拡張する。特定のラグランジュ部分多様体のフロアコホモロジーが、代数的演算——特に導来カテゴリ内の勾配付き射影空間——を介して計算可能であると提唱し、シンプレクティック不変量に対するホモロジー代数的アプローチを提供する。

ABSTRACT

The paper continues the discussion of symplectic aspects of Picard-Lefschetz theory begun in "Vanishing cycles and mutation" (this archive). There we explained how to associate to a suitable fibration over a two-dimensional disc a triangulated category, the "derived directed Fukaya category" which describes the structure of the vanishing cycles. The present second part serves two purposes. Firstly, it contains various kinds of algebro-geometric examples, including the "mirror manifold" of the projective plane. Secondly there is a (largely conjectural) discussion of more advanced topics, such as (i) Hochschild cohomology, (ii) relations between Picard-Lefschetz theory and Morse theory, (iii) a proposed "dimensional reduction" algorithm for doing certain Floer cohomology computations.

研究の動機と目的

• 4次元多様体における幾何的フロアコホモロジーと導来フューカヤカテゴリ内の代数的不変量の間の推測的対応を確立すること。
• シンプレクティックモノドロミーとホッフシュチルド・コホモロジーが正確なモース・ファイブレーションの位相的不変量とどのように関係するかをより洗練された理解を得ること。
• 正確なモース・ファイブレーションにおける実自己同型の役割と、その導来カテゴリのモース論的記述への影響を調査すること。
• 2n次元のシンプレクティック幾何学が、(2n+2)次元のファイブレーションに不変量を生成する次元削減機構を提案すること。
• 消失サイクルからの導来カテゴリのデータのみを用いて、ラグランジュフロアコホモロジーを計算する推測的アルゴリズムを提示すること。

提案手法

• 正確なモース・ファイブレーションのファイバー $M$ 内の勾配付きラグランジュ消失サイクル配置 $\widetilde{\Gamma}$ から、方向性を持つ $A_\infty$-カテゴリ $\mathcal{A} = \mathrm{Lag}^{\rightarrow}(\widetilde{\Gamma})$ を構成する。
• このカテゴリの導来カテゴリ $D^b(\mathcal{A})$ を形成する。これは三角的であり、Hurwitz移動および変異による不変性のおかげで、経路や勾配の選択に依存しない。
• 2つの異なる配置 $\Gamma$ と $\Gamma'$ を結ぶ $A_\infty$-カテゴリの鎖 $\mathcal{A}_0, \dots, \mathcal{A}_r$ を用意し、これらは準同型、勾配シフト、または変異によって関連づけられる。
• 合成された標準的同型を通じて、$D^b(\mathcal{A})$ と $D^b(\mathcal{A}')$ 間の同値 $G: D^b(\mathcal{A}) \to D^b(\mathcal{A}')$ を定義する。
• 消失サイクルのマッチングペアに付随する、$D^b(\mathcal{A})$ と $D^b(\mathcal{A}')$ 内の球面的対象 $C, C'$ を導入する。
• 幾何的フロアコホモロジーと勾配付き射影空間の間の推測的同型 $HF(\Lambda_c, \Lambda_{c'}) \cong \bigoplus_{d \in \mathbb{Z}} \mathrm{Hom}^d_{D^b(\mathcal{A}')} (G(C), C')$ を提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元多様体内のラグランジュ球面のフロアコホモロジーは、消失サイクルの導来フューカヤカテゴリから代数的に計算可能か？
• RQ2 経路選択、勾配、準同型の選択が導来カテゴリおよびその不変量に与える影響はいかほどか？
• RQ3 勾配付きフューカヤカテゴリの導来カテゴリ内での球面的対象の幾何的意味は何か？
• RQ4 次元削減を通じて、4次元多様体のシンプレクティック不変量を2次元のシンプレクティックデータからどれほど再構成できるか？
• RQ5 モース・ファイブレーションのグローバルモノドロミーを、そのホッフシュチルド・コホモロジーと結びつける標準的な方法はあるか？

主な発見

• 導来カテゴリ $D^b(\mathcal{A})$ は、正確なモース・ファイブレーション $(E, \pi)$ と相対的マスロフ写像 $\delta_{E/D}$ の不変量であり、経路や勾配の選択に依存しない。
• 定理9.4は、2つの最終的にラグランジュ的である部分多様体 $\Lambda_c$ と $\Lambda_{c'}$ のフロアコホモロジー $HF(\Lambda_c, \Lambda_{c'})$ が、$\bigoplus_d \mathrm{Hom}^d_{D^b(\mathcal{A}')} (G(C), C')$ の勾配付き直和と同型であると仮説する。
• この仮説は、準同型の選択に依存しない。これは、補題9.2が、$G$ による球面的対象の像がその選択に依存しないことを示している。
• $n=1$ の場合、カテゴリ $\mathcal{A}$ と $\mathcal{A}'$ は組み合わせ的に記述可能であり、直接的なフロア理論的計算と明確に比較可能になるため、計算が容易になる。
• $n=0$ の零次元の場合、この仮説は支持される。なぜなら、二重分岐被覆上の交差数の既知の代数的公式が回復されるからである。
• この枠組みは、ホモロジー代数をシンプレクティック幾何学に初めて真に応用する一例を示唆している：フロアコホモロジーが導来カテゴリの演算のみで計算可能である。