[論文レビュー] More Fibonacci-Bernoulli relations with and without balancing polynomials

Robert Frontczak, Taras Goy|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ベルヌーイ多項式およびベルヌーイ数とバランスド、ラウス・バランスド、フィボナッチ、ラウス多項式および数の間の新しい組み合わせ的恒等式を確立する。指数型母関数と多項式恒等式を用いて、算術級数内のベルヌーイ多項式とフィボナッチ数を結ぶ一般恒等式を導出し、代数的変形および特殊関数技法により、既存の結果を一般化し、新たな閉形式関係を導出する。

ABSTRACT

We continue our study on relationships between Bernoulli polynomials and balancing (Lucas-balancing) polynomials. From these polynomial relations, we deduce new combinatorial identities with Fibonacci (Lucas) and Bernoulli numbers. Moreover, we prove a special identity involving Bernoulli polynomials and Fibonacci numbers in arithmetic progression. Special cases and some corollaries will highlight interesting aspects of our findings. Our results complement and generalize these of Frontczak (2019).

研究の動機と目的

• 既知のベルヌーイ多項式とバランスド多項式の関係を拡張し、新しい組み合わせ的恒等式を導出すること。
• 算術級数内のベルヌーイ多項式とフィボナッチ数を結ぶ一般恒等式を確立すること。
• 指数型母関数と多項式再帰構造を用いて、フロントツァク（2019）の先行結果を一般化すること。
• 代数的恒等式および特殊関数の性質を通じて、ベルヌーイ多項式、フィボナッチ数、ラウス数の間の関係を調査すること。
• 数列の構造的関係および直交多項式における構造的関係を強調する、補題および特別な場合を提供すること。

提案手法

• 補題1で導出された奇数番目および偶数番目のバランスドおよびラウス・バランスド多項式の指数型母関数を用いる。
• ベルヌーイ数の母関数恒等式 $ H(0, z) = \frac{ze^z}{e^z - 1} $ を適用し、2変数母関数を構築する。
• ベルヌーイ多項式とバランスド多項式の母関数を乗算し、係数を一致させることで多項式恒等式を導出する。
• 双曲線関数の恒等式（$ \text{cosh} $ および $ \text{sinh} $ を含む）を用いて、指数型母関数積を簡略化する。
• ベルヌーイ多項式の乗法定理 $ \frac{1}{q} \textstyle\bigsum_{r=0}^{q-1} B_n(x + r/q) = B_n(qx)/q^n $ を適用し、恒等式を一般化する。
• 多項式恒等式を区間上で積分することで、下降階乗および二項係数を含む和の恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランスドおよびラウス・バランスド多項式の指数型母関数をどのように用いて、ベルヌーイ多項式と新しい恒等式を導出できるか？
• RQ2 ベルヌーイ多項式と算術級数内のフィボナッチ数を結ぶ一般恒等式は何か？
• RQ3 ベルヌーイ多項式の乗法定理を用いて、ベルヌーイ多項式とフィボナッチ数の関係を一般化できるか？
• RQ4 複素数または特別な値 $ x = iL_{2m+1}/6 $ での恒等式の評価が、数論的恒等式の導出に与える影響は何か？
• RQ5 下降階乗および二項係数は、母関数恒等式の高階導関数において、どのように自然に現れるか？

主な発見

• 一般恒等式が証明された：$ \textstyle\bigsum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\textstyle\frac{\text{Fibonacci}(j)}{\text{Fibonacci}(j)}\text{Fibonacci}(j)\text{Fibonacci}(j))^{n-k} B_{n-k} B_{2k}^*(x) = 6x n (C_{2n-2}(x) - \textstyle\frac{\text{Fibonacci}(j)}{\text{Fibonacci}(j)}\text{Fibonacci}(j)\text{Fibonacci}(j)) $、ベルヌーイ多項式とバランスド多項式を結ぶ。
• 補題4は新しい恒等式を与える：$ \textstyle\bigsum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\textstyle\frac{\text{Fibonacci}(j)}{\text{Fibonacci}(j)}\text{Fibonacci}(j)\text{Fibonacci}(j))^{n-k} F_{2kj} B_{n-k} = \frac{n}{2} F_{2j} (L_{2j(n-1)} - \textstyle\frac{\text{Fibonacci}(j)}{\text{Fibonacci}(j)}\text{Fibonacci}(j)\text{Fibonacci}(j)) $、フィボナッチ数とベルヌーイ数を結ぶ。
• $ x = 1/2 $ のとき、恒等式は $ \textstyle\bigsum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\textstyle\frac{\text{Fibonacci}(j)}{\text{Fibonacci}(j)}\text{Fibonacci}(j)\text{Fibonacci}(j))^{n-k} (2^{1-(n-k)} - 1) F_{jk} B_{n-k} = n \text{Fibonacci}(j) 2^{1-n} L_j^{n-1} $ を与え、ベルヌーイ数とフィボナッチ数およびラウス数を結ぶ。
• 一般化された恒等式が導出された：$ \textstyle\bigsum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\textstyle\frac{\text{Fibonacci}(j)}{\text{Fibonacci}(j)}\text{Fibonacci}(j)\text{Fibonacci}(j))^{n-k} (q^{1-(n-k)} - 1) F_{jk} B_{n-k} = n F_j q^{1-n} \textstyle\bigsum_{r=1}^{q-1} (r \bar{\theta}^j + (q-r) \bar{\theta}^j)^{n-1} $、ここで $ \theta = (1+\textstyle\frac{\text{Fibonacci}(j)}{\text{Fibonacci}(j)}\text{Fibonacci}(j)\text{Fibonacci}(j))/2 $。
• 主恒等式を 0 から $ N+1 $ まで積分することで、和の恒等式が得られる：$ \textstyle\bigsum_{s=0}^{N} \big( (\bar{\theta}^j + \textstyle\frac{\text{Fibonacci}(j)}{\text{Fibonacci}(j)}\text{Fibonacci}(j)\text{Fibonacci}(j)s)^n - (\bar{\theta}^j + \textstyle\frac{\text{Fibonacci}(j)}{\text{Fibonacci}(j)}\text{Fibonacci}(j)\text{Fibonacci}(j)s)^n \big) = (\textstyle\frac{\text{Fibonacci}(j)}{\text{Fibonacci}(j)}\text{Fibonacci}(j)\text{Fibonacci}(j)(N+1) + \bar{\theta}^j)^n - \bar{\theta}^{jn} $。
• 本稿は、グービのフロントツァクの恒等式の再定式化が代数的に同値であることを確認し、奇数番目のベルヌーイ数が消えることによる自明な再表現であるため、「改善」は実際には自明であることを明確にした。