[論文レビュー] More Morphisms between Bundle Gerbes

Konrad Waldorf|ArXiv.org|Feb 22, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 56

ひとこと要約

本稿では、1-同型写像を可逆な安定同型に限らず、自明化やバンドルゲーブルモジュールなどの非可逆写像を含むように一般化することで、バンドルゲーブルの新しい2カテゴリカル構造を導入する。線形バンドルの代わりに、精錬された基底空間上の高ランクのベクトルバンドルを用いることで、合成における厳密な結合性が達成され、Jandl構造を通じて、閉じた、境界付きの、および非向き付け可能な曲面の表面ホロノミーを統一的に定義する枠組みが提供される。

ABSTRACT

Usually bundle gerbes are considered as objects of a 2-groupoid, whose 1-morphisms, called stable isomorphisms, are all invertible. I introduce new 1-morphisms which include stable isomorphisms, trivializations and bundle gerbe modules. They fit into the structure of a 2-category of bundle gerbes, and lead to natural definitions of surface holonomy for closed surfaces, surfaces with boundary, and unoriented closed surfaces.

研究の動機と目的

• 可逆な安定同型写像しか存在しない従来のバンドルゲーブルの2群巾（2-groupoid）を、非可逆な1-写像を含む完全な2カテゴリカル構造へ拡張すること。
• 安定同型写像の合成における困難を解消するため、線形バンドルを精錬された基底多様体上の高ランクのベクトルバンドルに置き換えること。
• 自明化、バンドルゲーブルモジュール、およびJandl構造を、2カテゴリカル枠組みにおける写像として自然に解釈するためのカテゴリー的枠組みを提供すること。
• 新しい写像構造を用いて、閉じた、境界付きの、非向き付け可能な曲面の表面ホロノミーを定義すること、特にJandl構造を通じて行うこと。
• 特に非向き付け可能な世界面を持つタイプIのストリング理論を含む2次元共形場理論における背景場の記述を統一すること。

提案手法

• バンドルゲーブル間の1-写像を、その全空間のファイバー積への上へのサブミッションへのベクトルバンドルとして定義し、安定同型写像を一般化する。
• 新しい1-写像と整合する一般化された2-写像構造を導入し、2カテゴリカル構造における整合性を保証する。
• 共通の精錬を介したベクトルバンドルの引き戻しとテンソル積を用いて1-写像の合成を構成し、厳密な結合性を保証する。
• 2カテゴリカル構造を支えるためのモノイダル構造、双対性、引き戻しを備えた2カテゴリカル構造を備える。
• 自明なバンドルゲーブル間の写像を、曲率条件 $\mathrm{curv}(E) = \rho_2 - \rho_1$ を満たすベクトルバンドルに同値として分類する。
• 等変線形バンドルと $\mathrm{exp}(i\int_F \rho) \cdot \mathrm{hol}_R(\overline{\partial F})$ を含むホロノミー公式を用いて、Jandl構造を通じて非向き付け可能曲面のホロノミーを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バンドルゲーブルの2群巾を、非可逆な1-写像を含む2カテゴリカル構造へどのように拡張できるか？
• RQ2 合成における厳密な結合性を可能にする、安定同型写像の正しい一般化とは何か？
• RQ3 自明化とバンドルゲーブルモジュールを、2カテゴリカル枠組みにおける自然な写像としてどのように解釈できるか？
• RQ4 バンドルゲーブルにJandl構造を導入することで、非向き付け可能曲面に対する一貫したホロノミー概念を定義できるか？
• RQ5 新しい2カテゴリカル構造における写像と、関連するベクトルバンドルの曲率との関係は何か？

主な発見

• 新しい1-写像は精錬された基底空間上のベクトルバンドルとして与えられ、引き戻しのテンソル積による合成は厳密に結合的である。
• 1-写像が可逆であることは、そのベクトルバンドルのランクが1であることと同値であり、安定同型写像が特殊な場合として包含される。
• バンドルゲーブルの自明化は、自明なバンドルゲーブル $\mathcal{I}_\rho$ への1-同型写像として対応し、したがって2カテゴリカル構造における写像である。
• バンドルゲーブルモジュールは、自明なバンドルゲーブル $\mathcal{I}_\omega$ への（可逆でない可能性のある）1-写像として特定される。
• Jandl構造は、三つ組 $ (k, \mathcal{A}, \varphi) $ として符号化され、ここで $ \mathcal{A} $ は1-同型写像、$ \varphi $ は2-同型写像であり、2カテゴリカル構造に内在的に統合される。
• 非向き付け可能曲面のホロノミーは、ホロノミー公式 $ \mathrm{hol}_{\mathcal{G},\mathcal{J}}(\hat{\phi}) = \mathrm{exp}(i\int_F \rho) \cdot \mathrm{hol}_R(\overline{\partial F}) $ を用いて定義され、自明化や基本領域の選択に依存しない。