[論文レビュー] More on additive triples of bijections

Sean Eberhard|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、加法的三重組の先行研究を拡張し、$G$ を位数 $n$ のアーベル群とし、$Σ f(i) = Σ G$ を満たす関数 $f$ に対して、集合 $S$ 内の全単射 $π_1 + π_2 + π_3 = f$ の漸近的個数を提供する。フーリエ解析と特徴和推定を用いて、$f$ の衝突エントロピーが低い関数へのバイアスを捉える特異級数 $Σ(f)$ を含む正確な漸近式を導出し、4つ以上の和項に対しては和の分布が漸近的に一様になることを示している。

ABSTRACT

We study additive properties of the set $S$ of bijections (or permutations) $\{1,\dots,n\} o G$, thought of as a subset of $G^n$, where $G$ is an arbitrary abelian group of order $n$. Our main result is an asymptotic for the number of solutions to $π_1 + π_2 + π_3 = f$ with $π_1,π_2,π_3\in S$, where $f:\{1,\dots,n\} o G$ is an arbitary function satisfying $\sum_{i=1}^n f(i) = \sum G$. This extends recent work of Manners, Mrazović, and the author. Using the same method we also prove a less interesting asymptotic for solutions to $π_1 + π_2 + π_3 + π_4 = f$, and we also show that the distribution $π_1+π_2$ is close to flat in $L^2$. As in the previous paper, our method is based on Fourier analysis, and we prove our results by carefully carving up $\widehat{G}^n$ and bounding various character sums. This is most complicated when $G$ has even order, say when $G = \mathbf{F}_2^d$. At the end of the paper we explain two applications, one coming from the Latin squares literature (counting transversals in Latin hypercubes) and one from cryptography (PRP-to-PRF conversion).

研究の動機と目的

• 奇数位数群に限らないすべてのアーベル群 $G$ で $Σ G = 0$ を満たすものに対して、加法的三重組 $π_1 + π_2 + π_3 = f$ の漸近的個数を一般化すること。
• 関数 $f$ の衝突エントロピーに依存する特異級数 $Σ(f)$ を用いて、$π_1 + π_2 + π_3$ の分布が一様からどれほど逸脱しているかを定量化すること。
• $d \geq 4$ 個の和項への解析を拡張し、和の分布が漸近的に一様になることの証明。
• $\pi_1 + \pi_2$ の $L^2$-距離の境界を確立し、2つのランダムな単射の和が一様に近いかどうかを示すこと。
• 得られた結果を2つの分野に応用する：ラテン超立方体における横断的配置の数え上げと、XORによる置換の組み合わせによるPRPからPRFへの変換の安全性の分析。

提案手法

• 全単射の集合 $S$ に関連する特徴和を解析するため、群 $\widehat{G}^n$ 上のフーリエ解析が用いられる。
• $\widehat{G}^n$ を注意深く分解し、特に $G = \mathbf{F}_2^d$ の場合に難しいとされる指数和を評価する。
• 特異級数 $\mathfrak{S}(f) = \exp\left(-\frac{1}{2n^2}\sum_{x \in G}|f^{-1}(x)|^2\right)$ が、一様な漸近的個数に対する補正項として導出される。
• $d \geq 4$ の場合、方程式 $\pi_1 + \cdots + \pi_d = f$ の解の個数に対して、定量的境界 $\left(1 + O_d(n^{3-d})\right)n!^d / n^{n-1}$ を証明し、近似的に一様であることを示す。
• $m$ 個の要素へのランダムな単射 $\pi_1, \pi_2: \{1,\dots,m\} \to G$ の和の $L^2$-距離は $O(m/n^{3/2})$ であることが導出され、一様分布に非常に近いことが示される。
• 結果は、XORに基づくPRF構成の暗号的セキュリティ境界と、ラテン超立方体における横断的配置の数え上げへの応用に用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $f: \{1,\dots,n\} \to G$ で $\sum f(i) = \sum G$ を満たすものに対して、方程式 $\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = f$ の漸近的個数は何か？
• RQ2 $\pi_1 + \pi_2 + \pi_3$ の分布が一様からどれほど逸脱しているか、また $f$ の衝突エントロピーが果たす役割は何か？
• RQ3 $d$ が増加するとき、$\pi_1 + \cdots + \pi_d$ の分布はどのように変化するか。特に $d \geq 4$ の場合に注目する。
• RQ4 $\pi_1 + \pi_2$ の2つのランダムな全単射の和が $L^2$ で一様分布にどれほど近いか？
• RQ5 これらの加法的組合せの結果を用いて、XORによるPRPからPRFへの変換のセキュリティ境界を改善できるか？

主な発見

• 加法的 $f$-三重組 $\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = f$ の個数は、漸近的に $\left(\mathfrak{S}(f) + o(1)\right)n!^3 / n^{n-1}$ である。ここで $\mathfrak{S}(f) = \exp\left(-\frac{1}{2n^2}\sum_{x \in G}|f^{-1}(x)|^2\right)$ である。
• 特異級数 $\mathfrak{S}(f)$ は、$f$ が定数関数のとき $e^{-1/2}$ で最小値をとり、高衝突関数をわずかに避けている傾向を示している。
• $d \geq 4$ の場合、方程式 $\pi_1 + \cdots + \pi_d = f$ の解の個数は、漸近的に $\left(1 + O_d(n^{3-d})\right)n!^d / n^{n-1}$ である。これは、近似的に一様であることを示している。
• $\pi_1 + \pi_2$ の分布と一様分布との $L^2$-距離は、$m$ 個の要素への単射に対して $O(m/n^{3/2})$ である。これは強い集中性を示している。
• 2つの独立なPRP $\tilde{\pi}_1 + \tilde{\pi}_2$ のXORは、$\text{Adv}_{F}^{\text{PRF}}(m) \leq 2\text{Adv}_{E}^{\text{PRP}}(m) + O(m/2^{3d/2})$ の優位性を有するPRFである。これはセキュリティ境界の改善を示している。
• 結果は、$\pi_1 + \cdots + \pi_d = \pi_{d+1}$ の解と関連付けることで、ラテン超立方体における横断的配置の定量的個数を提供する。