[論文レビュー] More on hedging American options under model uncertainty

David Hobson, Anthony Neuberger|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、すべての整合的な martingale モデルを考慮した場合、アメリカン・オプションのモデルフリー価格付けにおける矛盾を解消している。具体的には、最も安価なスーパーリプレケーション戦略のコストが、すべての整合的 martingale モデルを考慮したときの最高のモデルベース価格に等しくなることを示している。先行研究における乖離は、Bayraktar らがあまりに狭いモデルのクラスに限定しているのに対し、Neuberger や Hobson & Neuberger は、レジームスイッチングのダイナミクスを捉えるより豊かなモデルを含んでいるため生じる。

ABSTRACT

The purpose of this note is to reconcile two different results concerning the model-free upper bound on the price of an American option, given a set of European option prices. Neuberger (2007, `Bounds on the American option') and Hobson and Neuberger (2016, `On the value of being American') argue that the cost of the cheapest super-replicating strategy is equal to the highest model-based price, where we search over all models which price correctly the given European options. Bayraktar, Huang and Zhou (2015, `On hedging American options under model uncertainty', SIAM J. Financial Math ematics) argue that the cost of the cheapest super-replicating strategy can strictly exceed the highest model-based price. We show that the reason for the difference in conclusion is that Bayraktar et al do not search over a rich enough class of models.

研究の動機と目的

• モデル不確実性下でのアメリカン・オプション価格の上限に関する矛盾する主張を統合すること。
• Neuberger (2007) と Bayraktar ら (2015) が報告する、モデルフリー上限価格の異なる値の背後にある顕著な矛盾を解明すること。
• Bayraktar らが最高のモデルベース価格よりも厳密に高いスーパーリプレケーションコストを報告する理由を明確にすること。
• その差が、Bayraktar らのフレームワークで十分に豊かなモデルクラスが欠落していることに起因することを示すこと。
• 整合的 martingale モデルの全集合を考慮した場合、双対性が成立し、スーパーリプレケーションコストと最高モデル価格が等しくなることを確立すること。

提案手法

• 原資産の満期における指定された周辺分布を備えた離散時間・離散状態空間の木構造モデルを構築する。
• アメリカン・オプションのペイオフを、X₁=1 のとき1、X₂=4 のとき8、それ以外は0と定義することで、パス依存的なクオンツを生成する。
• スーパーリプレケーションコストを、すべてのシナリオにおいてアメリカン・オプションペイオフをヘッジするために必要な最小初期資産として定式化する。
• 自然フィルトレーション下での遷移確率 (p, s) を用いて martingale モデルをパrameter化し、martingale 性および周辺分布制約を満たすようにする。
• モデルベース価格を、すべての停止時刻における期待ペイオフの上界として定義し、許容可能な (p, s) について最大化する。
• 等価性を達成し、Arrow-Debreu 働き価格と一致する混合モデルを特定することで、最大モデル価格がスーパーリプレケーションコストに等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ Neuberger や Hobson & Neuberger はスーパーリプレケーションコストと最高モデルベース価格が等しいと報告するのに対し、Bayraktar らは厳密な不等号を報告するのか？
• RQ2 モデルフリーのスーパーリプレケーションと最高モデルベース価格の間で双対性を保証するには、どのクラスのモデルが必要か？
• RQ3 レジームスイッチングのダイナミクスを除外する制限されたモデルクラスで、アメリカン・オプションの完全な価値を捉えることは可能か？
• RQ4 Bayraktar らのフレームワークで自然フィルトレーションと標準過程を用いることは、モデルフリー設定下でのアメリカン・オプションの正しく価格付けする能力を制限するか？
• RQ5 すべての整合的 martingale モデルを考慮した場合、アメリカン・オプションのモデルフリー価格付けに双対性ギャップは存在するか？

主な発見

• スーパーリプレケーションコスト Ψᵃ は正確に 18/5 = 3.6 であり、1株の株式と X₂=4 で支払いが発生する4つの Arrow-Debreu 证券を保有することで達成される。
• 最高のモデルベース価格 Φᵃ は同様に 18/5 = 3.6 であり、p=3/4 かつ s=0 または s=1/4 のとき達成され、これは極端な遷移確率に対応する。
• モデルベース価格は 16/5 + (1−8s)⁺/2 で最大化され、制約 (p+s)/2 = 2/5 の下で s=0 のとき 18/5 に達する。
• Bayraktar らは、レジームプロセスを許容しない自然フィルトレーションに限定したモデルに注目しているため、より高いスーパーリプレケーションコストを得ている。
• 整合的 martingale モデルの全集合を考慮した場合、Ψᵃ = Φᵃ が成立し、双対性ギャップがないことが確認される。
• 最高価格を達成するモデルは極端なモデルの混合であり、アメリカン・オプションの完全な価値がパス依存的な行使の柔軟性に起因することを確認する。