[論文レビュー] More On Superstring Perturbation Theory: An Overview Of Superstring Perturbation Theory Via Super Riemann Surfaces

Edward Witten|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用数 47

ひとこと要約

この論文は、スピン接続をゲージ群に埋め込んだCalabi-Yau三foldへのcompactificationを施したSO(32)ヘテロティックスティングの超リーマン面を用いた超弦摂動理論について、形式的ではあるがきめの細かい概説を提供する。超モジュライ空間への統合における長年の難問、特に赤外発散を示す条件収束積分について解消し、1-および2ループにおけるスピン統計の破れがゴールドストーンフェルミオンの寄与と真空エネルギーのずれによって生じることを、コhomologicalな手法と部分的図像変換作用素を用いて明確に示している。

ABSTRACT

This article is devoted to an overview of superstring perturbation theory from the point of view of super Riemann surfaces. We aim to elucidate some of the subtleties of superstring perturbation that caused difficulty in the early literature, focusing on a concrete example -- the $SO(32)$ heterotic string compactified on a Calabi-Yau manifold, with the spin connection embedded in the gauge group. This model is known to be a significant test case for superstring perturbation theory. Supersymmetry is spontaneously broken at 1-loop order, and to treat correctly the supersymmetry-breaking effects that arise at 1- and 2-loop order requires a precise formulation of the procedure for integration over supermoduli space. In this paper, we aim as much as possible for an informal explanation, though at some points we provide more detailed explanations that can be omitted on first reading.

研究の動機と目的

• 超モジュライ空間への統合および条件収束積分に関する、長年の曖昧さを明確にすること。
• SO(32)ヘテロティックスティングがCalabi-Yau三foldにcompact化された際、1-および2ループにおけるスピン統計の破れがどのように生じるかを、明確で直感的な説明を与えること。
• このモデルにおける顕在的な異常とスピン統計の破れが、アーティファクトではなく、正確な超モジュライ統合の定式化を要する一貫した特徴であることを示すこと。
• ゴールドストーンフェルミオンが、スピン統計の自発的破れを示す超対称性のWard恒等式にどのように現れるかを明らかにすること。
• 標準的な摂動的手法がなぜこのモデルで失敗するのかを理解する基盤を築き、部分的図像変換作用素のような洗練された技術がこれらの問題をどのように解決するかを示すこと。

提案手法

• 超リーマン面のモジュライ空間上で弦摂動理論を直接定式化することで、超対称性とモジュラー不変性を保存する。
• 条件収束積分の赤外発散を抑制するため、超対称版のDeligne-Mumfordコンパクト化を用いる。
• 物理的状態と振幅を表現するためにコhomologicalな手法を用い、特に超モジュライ空間の制約を符号化するクラス $\Lambda(\mathfrak{N}_1^\vee)$ を用いる。
• 重力フェルミオンのゼロモードに起因する $\delta(\mu)$-型因子の存在のため、完全な $Y(p) = \delta(\beta)S_{z\theta}$ の代わりに部分的図像変換作用素 $\delta(\beta)$ を用いる。
• 演算子積展開を用いて複雑な相関関数を2点関数に還元し、$D$-補助場の頂点演算子 $V_D$ が主要な物理的寄与を担うことを特定する。
• $bc$ および $\widetilde{b}\widetilde{c}$ ゲージ・フェルミオン系を明示的に取り扱い、振幅が縮約された超モジュライ空間上の $(2,1)$-形式として正しく変換されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超モジュライ空間への積分が赤外で条件収束する場合、どのようにして超弦摂動理論を一貫して定式化できるか？
• RQ2 SO(32)ヘテロティックスティングがCalabi-Yau多様体上でcompact化された際、1-および2ループにおけるスピン統計の自発的破れの正確なメカニズムは何か？
• RQ3 ゴールドストーンフェルミオンは、超対称性のWard恒等式にどのように現れ、異常をキャンセルする役割を果たすか？
• RQ4 なぜ標準的な摂動的手法がこのモデルで失敗するのか？そして、超リーマン面の技術を用いることでどのように是正できるか？
• RQ5 重力フェルミオンのゼロモードに起因する $\delta(\mu)$-型制約の存在下で、部分的図像変換作用素がどのように曖昧さを解消するか？

主な発見

• ボソンとフェルミオンの1ループ質量分裂は、$\langle V_D \rangle$、すなわち$D$-補助場の真空期待値に比例する行列要素から生じる。これはループ効果により非ゼロとなる。
• 2ループの真空エネルギーは非ゼロであり、同じコhomological構造から生じることを確認し、このモデルにおけるスピン統計の破れが真にループ効果であることを裏付けた。
• ゴールドストーンフェルミオンは、非自明なコhomology類 $\Lambda(\mathfrak{N}_1^\vee)$ の結果として、超対称性のWard恒等式に現れ、自発的スピン統計の破れを示唆する。
• ゼロモードに起因する $\delta(\mu)$ 要素が $\mu S_{z\theta}$ 項を抑制するため、完全な $Y(p)$ の代わりに部分的図像変換作用素 $\delta(\beta)$ を用いることが不可欠である。
• 相関関数は2点関数 $\langle e^{-\phi/2}\Sigma_{\alpha,+}(z) \cdot e^{\phi/2}J_\ell \epsilon^{\beta\gamma}\Sigma_{\gamma,-}(0) \rangle$ に還元され、そのOPEから $\delta^\beta_\alpha V_D(0)$ が得られ、振幅が$D$-場の期待値と直接関連づけられる。
• 適切に $(0,1)$-形式として、ベレジンアンビエントバンドルに値をとる解釈がなされた場合、全振幅は挿入点 $p$ および $p'$ に依存しない。これはコhomological不変性によるものである。