[論文レビュー] More Solvable $2D$ Quantum Models from Lattice Gauge Theories

Pramod Padmanabhan, J. P. Ibieta Jimenez+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2014

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、格子規範理論の遷移行列を中央パラメータで変更することにより得られる、正確に解ける2次元量子モデルのクラスを導入する。この手法により位相的秩序が保存され、量子双対およびねじれ量子双対位相が一般化され、代数的変形と明確に定義された任意子励起が得られる。この結果は、$\mathbb{Z}_n$ および $S_3$ 群に対して示された。

ABSTRACT

Quantum double models, such as the toric code, can be constructed from transfer matrices of lattice gauge theories with discrete gauge groups and parametrized by the center of the gauge group algebra and its dual. For general choices of these parameters the transfer matrix contains operators acting on links which can also be thought of as perturbations to the quantum double model driving it out of its topological phase and destroying the exact solvability of the quantum double model. We modify these transfer matrices with perturbations and extract exactly solvable models which remain in a quantum phase, thus nullifying the effect of the perturbation. The algebra of the modified vertex and plaquette operators now obey a deformed version of the quantum double algebra. The Abelian cases are shown to be in the quantum double phase whereas the non-Abelian phases are shown to be in a modified phase of the corresponding quantum double phase. These are illustrated with the groups $\mathbb{Z}_n$ and $S_3$. The quantum phases are determined by studying the excitations of these systems namely their fusion rules and the statistics. We then go further to construct a transfer matrix which contains the other $\mathbb{Z}_2$ phase namely the double semion phase. More generally for other discrete groups these transfer matrices contain the twisted quantum double models. These transfer matrices can be thought of as being obtained by introducing extra parameters into the transfer matrix of lattice gauge theories. These parameters are central elements belonging to the tensor products of the algebra and its dual and are associated to vertices and volumes of the three dimensional lattice. As in the case of the lattice gauge theories we construct the operators creating the excitations in this case and study their braiding and fusion properties.

研究の動機と目的

• 格子規範理論の遷移行列を変更することで、標準的な量子双対モデルを超えた正確に解ける2次元量子モデルのクラスを拡張すること。
• 通常は位相的秩序を破壊する摂動に対しても、位相的秩序と正確な可解性を保つこと。
• 遷移行列における中央パラメータを用いて、量子双対構成をねじれ量子双対モデルやその他の位相に一般化すること。
• 任意子励起の融合および編み込み性質を通じて、得られた量子位相を特徴付けること。
• 群論的パラメータを用いて、代数的変形を伴う量子双対代数を持つモデルを体系的に構築するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 3次元格子における頂点および体積に対応する、群代数とその双対からの中央要素を導入することで、格子規範理論の遷移行列を変更する。
• 変形された頂点およびプラケット演算子を構築し、正確な可解性を保つ変形された量子双対代数を満たす。
• 群論的パラメータ（特に群代数の中心およびその双対からの要素）を用いて、遷移行列における摂動を定義する。
• $\mathbb{Z}_n$ および $S_3$ のハミルトニアンを解析し、アーベルおよび非アーベルの任意子統計を含む量子位相を同定する。
• 任意子励起を生成および結合する演算子を導出し、変形された代数的構造を用いてその融合則および編み込み統計を計算する。
• 中央パラメータを調整することで、ダブルセミオン位相やその他のねじれ量子双対モデルを含む一般化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子双対モデルに対する摂動を、正確な可解性や位相的秩序を損なわずに体系的に導入する方法は何か？
• RQ2 変形された頂点およびプラケット演算子に現れる代数的構造は何か？標準的な量子双対代数とはどのように異なるか？
• RQ3 パラメータ化された遷移行列を用いた格子規範理論において、標準的な量子双対位相を超えるどの量子位相が実現可能か？
• RQ4 新しいモデルにおける任意子励起の融合則および位相的統計は、どのように振る舞うか？
• RQ5 ダブルセミオン位相やその他のねじれ量子双対モデルは、遷移行列における中央パラメータを用いた統一的枠組みから導けるか？

主な発見

• 中央要素を群代数およびその双対に埋め込むことで、摂動に対しても位相的秩序を保ち、正確に解ける2次元量子モデルが得られる。
• 頂点およびプラケット演算子は、標準的な量子双対代数の変形版を満たし、これは標準的な任意子非可換関係を一般化する。
• アーベル群（例：$\mathbb{Z}_n$）に対しては、アーベルの任意子とアーベル統計を有する標準的な量子双対位相に属する。
• 非アーベル群（例：$S_3$）に対しては、標準的な量子双対とは異なる修正された位相が実現され、非アーベルの融合則および統計を有する。
• ダブルセミオン位相は、一般化された遷移行列フレームワークの特別な場合として成功裏に構築され、より広いモデルのクラスに含まれることが確認された。
• すべての任意子励起（融合および編み込み性質を含む）が体系的に導出され、変形された代数的構造と整合的であることが示された。