[論文レビュー] More Solvable 2D Quantum Models from Lattice Gauge Theories and Beyond

Ibieta Jimenez, Miguel Jorge Bernabé Ferreira+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2014

Quantum many-body systems参考文献 42被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、一般化されたパラメータを用いた格子規範理論の転送行列から、正確に解ける2次元量子モデルを構築する。この手法により、可解性とトポロジカルオーダーを保ったまま摂動を導入でき、アーベル型（Zn）および非アーベル型（S3）の量子相を同定し、融合則や統計的性質を修正する。さらに、格子規範理論に由来しない転送行列に対してもフレームワークを拡張し、ねじれた量子ダブルモデル（Z2のダブルセミオンモデルを含む）を導出する。

ABSTRACT

We construct two dimensional lattice models from transfer matrices of lattice gauge theories with discrete gauge groups. These transfer matrices are built out of local operators acting on links, vertices and plaquettes and are parametrized by the center of the gauge group algebra and its dual. They contain the familiar 2D quantum double models for a particular choice of parameters, which includes the well studied example of the toric code. However for more general choices of parameters the transfer matrix contains operators acting on links which can also be thought of as perturbations to the quantum double model driving it out of its topological phase towards a paramagnetic phase. These perturbations can be thought of as magnetic fields added to the system which destroy the exact solvability of the quantum double model. Nevertheless from the same transfer matrix with perturbations we exhibit exactly solvable models which remain in a quantum phase, thus nullifying the effect of the perturbation. The Abelian cases are shown to be in the quantum double phase whereas the non-Abelian phases are shown to be in a modified phase of the corresponding quantum double phase. This is shown by working with the groups Zn and S3 for the Abelian and non-Abelian cases respectively. The quantum phases are found by studying the excitations of these systems. The fusion rules and the statistics of these anyons indicate the quantum phases of these models. The implementation of these models can possibly improve the use of quantum double models for fault tolerant quantum computation. We then construct theories which arise from transfer matrices that are not the transfer matrices of lattice gauge theories. In particular we show that for the Z2 case this contains the double semion model. More generally for other discrete groups these transfer matrices contain the twisted quantum double models. These transfer matrices can be thought of as being obtained by introducing extra parameters into the transfer matrix of lattice gauge theories. These parameters are central elements belonging to the tensor products of the algebra and its dual and are associated to vertices and volumes of the three dimensional lattice. As in the case of the lattice gauge theories we construct the operators creating the excitations in this case and study their braiding and fusion properties.

研究の動機と目的

• 規範群代数およびその双対から得られるパラメータを用いて、2次元量子ダブルモデルを一般化すること。
• これらの摂動が、元の量子ダブル対称性を破るにもかかわらず、正確な可解性とトポロジカルオーダーを保つように調整可能であることを示すこと。
• 任意onsの励起とその統計的性質を特徴づけることにより、アーベル型（Zn）および非アーベル型（S3）の新しい量子相を同定・特徴づけること。
• 格子規範理論に由来しない転送行列に対してもフレームワークを拡張し、ねじれた量子ダブルモデルを生成すること。
• 一般化されたモデルにおける任意onsのバーニング則と融合則を研究し、それらのトポロジカルオーダーを分類すること。

提案手法

• 離散的規範群を用いた格子規範理論から転送行列を構築し、規範群代数およびその双対の要素によってパrameter化する。
• 3次元格子における頂点および体積に対応する、代数とその双対のテンソル積の中心的要素を用いて摂動を導入する。
• 得られたハミルトニアンを解析し、任意ons励起を同定し、それらの融合則と統計的性質を計算する。
• アーベル型と非アーベル型のトポロジカル相を区別するために、ZnおよびS3群を事例として用いる。
• 追加のパラメータを転送行列に導入することで、格子規範理論に由来しない構成に拡張し、ダブルセミオンモデルやねじれた量子ダブルモデルを回復する。
• 任意onsのバーニングと融合の性質を用いて、得られたモデルのトポロジカルオーダーを特徴づけ、非自明な任意ons統計の存在を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子ダブルモデルへの摂動を、正確な可解性とトポロジカルオーダーを保ちつつ導入することは可能か？
• RQ2 修正された転送行列から構築された一般化モデルにおける任意onsの融合則と統計的性質は何か？
• RQ3 一般化されたモデルのトポロジカル相は、標準的な量子ダブル相とどのように異なるか。特に非アーベルの場合に注目する。
• RQ4 格子規範理論に由来しない転送行列でも、非自明なトポロジカルオーダーを持つ正確に解けるモデルを生成できるか？
• RQ5 代数およびその双対の中心的要素が、標準的な量子ダブルフレームワークを超えた新しい量子相を定義する役割を果たすか？

主な発見

• 一般化された転送行列は、規範群代数およびその双対からのパラメータを調整することにより、摂動に対しても正確に解けるモデルを生成し、トポロジカルオーダーを維持する。
• アーベル型（Zn）の場合、モデルは標準的な量子ダブル相にあり、任意onsはアーベル的融合則と統計を満たすことが示された。
• 非アーベル型（S3）の場合、モデルは標準的な量子ダブルとは異なる修正された相にあり、非アーベル的任意ons統計と融合則を示した。
• この構成は格子規範理論を越えて拡張され、ダブルセミオンモデル（Z2の場合）を含むモデルを回復し、より広範な適用可能性を示した。
• 代数とその双対のテンソル積における中心的要素を追加のパラメータとして導入することで、ねじれた量子ダブルモデルの出現が可能になった。
• すべてのモデルにおける任意ons励起は、明確なバーニング則と融合性質を示し、トポロジカルオーダーの存在およびエラー耐性のある量子計算への応用可能性を裏付けた。