[論文レビュー] Mori-Zwanzig reduced models for uncertainty quantification I: Parametric uncertainty

Panagiotis Stinis|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、パラメトリックな不確実性を有する時間依存系における不確実性の定量化のため、多項式クラウド展開を用いたMori-Zwanzig (MZ)形式に基づく低次元モデルを提案する。記憶項を畳み込み積分を避けるために通常微分方程式に再定式化することで、計算コストの高い畳み込み積分を回避し、線形安定性基準を用いた安定でパrameterフリーの記憶長の推定を可能にする。これは、不確実な粘性係数を有する粘性バーガース方程式に対して実証された。

ABSTRACT

In many time-dependent problems of practical interest the parameters entering the equations describing the evolution of the various quantities exhibit uncertainty. One way to address the problem of how this uncertainty impacts the solution is to expand the solution using polynomial chaos expansions and obtain a system of differential equations for the evolution of the expansion coefficients. We present an application of the Mori-Zwanzig formalism to the problem of constructing reduced models of such systems of differential equations. In particular, we construct reduced models for a subset of the polynomial chaos expansion coefficients that are needed for a full description of the uncertainty caused by the uncertain parameters. We also present a Markovian reformulation of the Mori-Zwanzig reduced equation which replaces the solution of the orthogonal dynamics equation with an infinite hierarchy of ordinary differential equations. The viscous Burgers equation with uncertain viscosity parameter is used to illustrate the construction. For this example we provide a way to estimate the necessary parameters that appear in the reduced model without having to solve the full system.

研究の動機と目的

• 時間依存PDE/ODEにおける高次元不確実性定量化の課題に対処する。
• パラメトリック不確実性を効率的に記述するため、多項式クラウド展開係数のサブセットに対する低次元モデルを開発する。
• MZ形式における記憶積分計算の計算負荷を軽減するため、記憶項をODEに再定式化する。
• フルシステムを解かずに、低次元モデルの線形安定性制約を用いて記憶カーネルパラメータを推定する。
• 不確実な粘性係数を有する粘性バーガース方程式をテストケースとして用い、安定的かつ高精度な低次元ダイナミクスを示す。

提案手法

• 不確実パラメータを有するPDE/ODEに多項式クラウド展開を適用し、展開係数のための確定的ODE系に変換する。
• Mori-Zwanzig形式を用いて、フルシステムを解像変数（例えば、低次の多項式クラウドモード）の低次元集合に投影する。
• 元の積分微分方程式であるMZ方程式を、畳み込み積分を回避するための通常微分方程式系に再定式化する。
• 線形安定性基準を用いて、記憶カーネルパラメータ（例：減衰時間 $t_0, t_1$）を推定する。特に、記憶行列が負定値であることを要求する。
• 粘性バーガース方程式をテストケースとして用いる：不確実な粘性係数は線形および非線形の記憶寄与を引き起こし、再帰的パラメータ推定によりグループ化され安定化される。
• 記憶減衰時間が高次項において短くなる場合には短記憶近似を適用し、数値的一致性のチェックによって妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメトリック不確実性を有する系における不確実性定量化のため、Mori-Zwanzig形式をどのように低次元モデルの構築に適応できるか？
• RQ2 フルシステムを解かずに、特にフルシミュレーションが非現実的である場合に、MZ形式における記憶項を計算できるか？
• RQ3 パラメトリック不確実性の低次元モデルにおける記憶カーネルの長さと構造を推定するための基準として何が使えるか？
• RQ4 非線形および線形寄与が存在する状況において、低次元モデルの安定性が記憶パラメータ推定にどのように制約を加えるか？
• RQ5 短記憶近似が有効である場合と、高次項において記憶減衰時間が延長される必要がある場合の条件は何か？

主な発見

• 再定式化されたMZ形式により、記憶積分がODEに変換され、フルシステムを解かずに記憶項の計算が効率的に行えるようになった。
• 記憶カーネルパラメータ（例：$t_0, t_1$）は、記憶行列が負定値であることを要求する線形安定性基準を用いて再帰的に推定可能である。
• 不確実な粘性係数を有する粘性バーガース方程式に対して、本手法は計算コストを低減しつつ不確実性伝搬を的確に捉えることができた。
• 記憶減衰時間が高次項において短くなる場合でも、本手法は安定な低次元モデルを可能にし、短記憶近似の使用を支援する。
• 記憶減衰時間が次数とともに増加する場合（例：線形減衰ODE）、本手法は高次項において $t_0$ を増加させるべきであると示唆している。
• 本フレームワークは、ナビエ-ストークス方程式を含む、粘性散逸を有する他の方程式へも拡張可能であり、不確実性および物理状態の両方の二段階低次元化と組み合わせて利用可能である。