[論文レビュー] Morita equivalence in the context of Hilbert modules

Jan Paseka|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト加群を用いて、m-正則な自己双対的量子代数の間のモリタ同倣を確立し、ユニタリ代数に限らない古典的モリタ理論への一般化を達成している。2つの可換なm-正則な自己双対的量子代数がモリタ同倣であるための必要十分条件は、それらが同型であることであると証明しており、自然変換のカテゴリカルな特徴づけを量子代数の中心を用いて行い、C*-代数および量子代数理論の結果を拡張している。

ABSTRACT

The Morita equivalence of m-regular involutive quantales in the context of the theory of Hilbert $A$-modules is presented. The corresponding fundamental representation theorems are shown. We also prove that two commutative m-regular involutive quantales are Morita equivalent if and only if they are isomorphic

研究の動機と目的

• ユニタリ量子代数からm-正則（非ユニタリ）な自己双対的量子代数へのモリタ同倣理論の拡張を、ヒルベルト加群を用いて行う。
• m-正則な自己双対的量子代数上のヒルベルト加群の文脈において、モリタ同倣のカテゴリカルな枠組みを確立する。
• 2つの可換なm-正則な自己双対的量子代数がモリタ同倣であるための必要十分条件は、それらが同型であることであることを証明する。
• エイレンバーグ＝ウォーツの定理をヒルベルト加群へ一般化し、余極限を保存する*-関手と右ヒルベルト双加群との間の関係を確立する。
• ヒルベルト加群のカテゴリ上の適切な自然変換の量子代数が、量子代数の中心と同型であることを特徴づける。

提案手法

• m-正則な右ヒルベルトA加群のカテゴリを、モリタ同倣を定義する基盤構造として用いる。
• エイレンバーグ＝ウォーツの定理を適用し、ヒルベルト加群カテゴリ間の余極限を保存する*-関手が右ヒルベルト双加群に対応することを示す。
• ヒルベルト双加群MとNを含むモリタコンテキストの存在を用いてモリタ同倣を定義し、M⊗_B N ≅ AおよびN⊗_A M ≅ Bを満たすものとする。
• 量子代数Aの中心と、m-正則ヒルベルトA加群のカテゴリ上の適切な自然変換の量子代数との間に自然な同型を確立する。
• カテゴリカルな双対性と加群カテゴリ間のユニタリ同値性を用いて、AとBがモリタ同倣であるとき、ANat(A)とANat(B)が自己双対的量子代数として同型であることを証明する。
• 文献[10]および[13]の結果を応用し、加群の準同型を拡張し、自己双対作用素の代数への写像の一意的拡張を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト加群の文脈において、モリタ同倣をユニタリからm-正則な自己双対的量子代数へどのように拡張できるか？
• RQ2 m-正則なヒルベルト加群の文脈における、自己双対的量子代数上のモリタ同倣のカテゴリカルな特徴づけは何か？
• RQ3 2つの可換なm-正則な自己双対的量子代数がモリタ同倣であるための条件は何か？
• RQ4 量子代数の中心と、そのヒルベルト加群カテゴリ上の適切な自然変換の量子代数との関係は何か？
• RQ5 エイレンバーグ＝ウォーツの定理は、この文脈において関手と双加群との間の対応を確立するためにどのように機能するか？

主な発見

• 2つのm-正則な自己双対的量子代数が強くモリタ同倣であるための必要十分条件は、それらがモリタ同倣であることであると示され、2つの概念の強い同倣が確立された。
• 2つの可換なm-正則な自己双対的量子代数がモリタ同倣であるための必要十分条件は、それらが同型であることであると示され、可換な場合にモリタ同倣が同型に縮退することを示している。
• m-正則ヒルベルトA加群のカテゴリ上の適切な自然変換の量子代数は、Aの中心と同型であると示され、中心のカテゴリカルな特徴づけが得られた。
• 量子代数A上のm-正則ヒルベルト加群のカテゴリは、A上の自己双対作用素の代数の加群のカテゴリへ完全忠実な埋め込みを備えている。
• 自然変換の量子代数ANat(A)はAの中心と同型であり、この同型はモリタ同倣のもとで保存される。
• m-正則ヒルベルト加群のカテゴリのユニタリ同値性は、対応する自然変換の量子代数ANat(A)とANat(B)の間の量子代数同型を誘導する。