[論文レビュー] Morita equivalence of pointed fusion categories of small rank

Michaël Mignard, Peter Schauenburg|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2 から 31 までの位数をもつ有限群 $G$ に対して、計算的群コホモロジーとフロベニウス＝シュール指標を用いて、$ \mathcal{C}(G,\omega) $ の点付きフォッキー・ファンクター・カテゴリをモライト同値類に関して分類する。Drinfeld中心のモジュラー・データ、特に指標とリボンねじれが、フロベニウス＝シュール指標が単独では失敗する場合でさえも、モライト同値類を完全に区別することを示している。

ABSTRACT

We classify pointed fusion categories C(G, $ω$) up to Morita equivalence for 1 < |G| < 32. Among them, the cases |G| = 2 3 , 2 4 and 3 3 are emphasized. Although the equivalence classes of such categories are not distinguished by their Frobenius-Schur indicators, their categorical Morita equivalence classes are distinguished by the set of the indicators and ribbon twists of their Drinfeld centers. In particular, the modular data are a complete invariant for the modular categories Z(C(G, $ω$)) for |G[< 32. We use the computer algebra package GAP and present codes for treating complex-valued group cohomology and calculating Frobenius-Schur indicators.

研究の動機と目的

• すべての有限群 $G$ に対して $1 < |G| < 32$ を満たす $\mathcal{C}(G,\omega)$ の点付きフォッキー・ファンクター・カテゴリをモライト同値類に関して分類すること。
• フロベニウス＝シュール指標が、そのようなカテゴリのモライト同値類を単独で区別できるか否かを特定すること。
• Drinfeld中心のモジュラー・データ（指標とリボンねじれ）が、モライト同値類の分類に果たす役割を調査すること。
• GAP を用いた複素数値群コホモロジーとフロベニウス＝シュール指標の計算のための計算ツールを実装すること。
• コホモロジー類とそれらの群準同型による引き戻しを計算する明示的なアルゴリズムとコードを提供すること。

提案手法

• モライト同値の点付きフォッキー・ファンクター・カテゴリ $\mathcal{C}(G,\omega)$ が、ねじれ量子双対 $D_\omega(G)$ のギャージ同値に一致し、したがってその Drinfeld 中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C}(G,\omega))$ の同値に一致することを利用している。
• GAP を用いた群コホモロジー計算により、$H^3(G, \mathbb{C}^\times)$ を決定し、カテゴリを定義する 3-コサイクル $\omega$ を分類している。
• コホモロジー類を $H_n(K) \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ の形の準同型を用いて表現する手法を適用し、コホモロジー類およびその制限を効率的に計算できるようにしている。
• 特に点付きカテゴリおよびその中心における高次フロベニウス＝シュール指標の公式を適用している。
• モジュラー・データ（S行列とT行列）を指標とリボンねじれを用いて計算し、モライト同値類を区別している。
• GAP コードを実装し、$\mathbb{C}^\times$-値コホモロジー、群準同型によって誘導されるコホモロジー群間の準同型、および制限写像を計算している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位数が 32 未塔の群 $G$ に対して、点付きフォッキー・ファンクター・カテゴリ $\mathcal{C}(G,\omega)$ がモライト同値となるのはどのような場合か。
• RQ2 フロベニウス＝シュール指標が、点付きフォッキー・ファンクター・カテゴリのモライト同値類を単独で区別できるか。
• RQ3 Drinfeld 中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C}(G,\omega))$ のモジュラー・データ（指標とリボンねじれ）は、$\mathcal{C}(G,\omega)$ のモライト同値類を完全に不変量として持つか。
• RQ4 計算代数システムを用いて、複素数値群コホモロジーとフロベニウス＝シュール指標をどのように効率的に計算・操作できるか。
• RQ5 $\mathcal{C}(G,\omega)$ の双対カテゴリの構造は何か。また、コホモロジー的データを介して、それらは群理論的カテゴリとどのように関係するか。

主な発見

• すべての群 $G$ に対して $1 < |G| < 32$ を満たす場合、本稿は点付きフォッキー・ファンクター・カテゴリ $\mathcal{C}(G,\omega)$ をモライト同値類に関して完全に分類している。
• フロベニウス＝シュール指標が単独で点付きフォッキー・ファンクター・カテゴリのモライト同値類を区別できない。異なる $\omega$ が同じ指標列をもたらすことがある。
• Drinfeld 中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C}(G,\omega))$ のフロベニウス＝シュール指標の集合とリボンねじれが、モライト同値類を完全に分類する。
• $|G| < 32$ のとき、$\mathcal{Z}(\mathcal{C}(G,\omega))$ のモジュラー・データ（S行列とT行列）は、$\mathcal{C}(G,\omega)$ のモライト同値類を完全不変量として持つ。
• 著者らは、複素数値群コホモロジー、コホモロジー類の引き戻し、および点付きフォッキー・ファンクター・カテゴリのフロベニウス＝シュール指標を計算するためのGAPコードを実装し、公開している。
• 分類の結果、$|G| = 8, 16$, および $27$（すなわち $2^3, 2^4, 3^3$）のケースでは、特に豊かで非自明なモライト同値構造が現れることが明らかになった。