[論文レビュー] Morita invariance of unbounded bivariant K-theory

Jens Kaad|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\sigma$-ユニタルな $C^*$-代数の稠密な $*$-部分代数としての演算子 $*$-代数のための完全等長的自己同一的作用の概念を導入することにより、非有界双変K理論におけるモラータ不変性を確立する。非有界カスパロフ積がモラータ同値な代数上のねじれスペクトル三重項類の間で同型を誘導することを証明し、バアジュルグの有界変換を介してカスパロフの有界双変K理論を精緻化する。

ABSTRACT

We introduce a notion of Morita equivalence for non-selfadjoint operator algebras equipped with a completely isometric involution (operator *-algebras). We then show that the unbounded Kasparov product by a Morita equivalence bimodule induces an isomorphism between equivalence classes of twisted spectral triples over Morita equivalent operator *-algebras. This leads to a tentative definition of unbounded bivariant K-theory and we prove that this bivariant theory is related to Kasparov's bivariant K-theory via the Baaj-Julg bounded transform. Moreover, the unbounded Kasparov product provides a refinement of the usual interior Kasparov product. We illustrate our results by proving C^1-versions of well-known C^*-algebraic Morita equivalences in the context of hereditary subalgebras, conformal equivalences and crossed products by discrete groups.

研究の動機と目的

• 有界性と適切な自己同一的作用の概念を用いて、$C^*$-代数から非自己随伴な演算子 $*$-代数へモラータ同値を拡張すること。
• ねじれスペクトル三重項を用いて、演算子 $*$-代数のための非有界双変K理論を定義すること。
• 非有界カスパロフ積がモラータ同値を保存することを示し、有界内積の一般化を精緻化すること。
• 古典的な $C^*$-代数的モラータ同値（遺伝的部分代数、共形同値、交叉積）の $C^1$-版を非有界設定で確立すること。
• 非有界カスパロフ積が、$UK_*$-理論類に同型を誘導することを示し、$C^*$-代数的モラータ不変性を一般化すること。

提案手法

• ヒルベルト空間上の作用素 $*$-代数を、自己同一的作用がヒルベルト空間の随伴作用とユニタリ共役である閉自己同一的部分代数として定義する。
• 行列ノルムが整合する行列の表現を用いて、演算子 $*$-対応を定義する。
• 内部テンソル積とねじれスペクトル三重項を用いて、非有界カスパロフ積を構成する。
• バアジュルグの有界変換を適用し、非有界モジュラーサイクルと有界 $KK$-理論類との間の橋渡しを確立する。
• 多様体と群作用に $C^1$-滑らか構造を導入し、交叉積と商代数を用いて明示的なモラータ同値を構成する。
• 内積から誘導される完全有界な両側加群写像を用いてモラータ同値を検証し、$C^*$-完備化後にユニタリ同型が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な自己同一的作用と有界性の概念を用いて、$C^*$-代数から非自己随伴な演算子 $*$-代数へのモラータ同値の拡張は可能か？
• RQ2 非有界カスパロフ積は、ねじれスペクトル三重項類の間で同型を誘導する意味でモラータ同値を保存するか？
• RQ3 非有界カスパロフ積は、カスパロフの $KK$-理論における有界内積をどのように精緻化するか？
• RQ4 $C^1$-版の標準的 $C^*$-代数的モラータ同値（例えば、交叉積、遺伝的部分代数）は、非有界枠組みで有効か？
• RQ5 非有界双変K理論において、モラータ同値な演算子 $*$-代数の間で、カスパロフ積によって同型が誘導されるか？

主な発見

• モラータ同値な演算子 $*$-代数上のねじれスペクトル三重項類の間で、モラータ同値な双方向バインディングの非有界カスパロフ積が同型を誘導する。
• ねじれスペクトル三重項を用いて定義された非有界双変K理論は、カスパロフ積によって誘導される同型を介してモラータ不変性を有する。
• バアジュルグの有界変換は、非有界カスパロフ積を有界内積に写像し、標準的 $KK$-理論への橋渡しを確立する。
• $C^1$-滑らかな多様体に、適切で、コンパクトで、等長的群作用が作用する場合、交叉積代数 $C^1_0(M)\rtimes_r G$ は $C^1_0(M/G)$ にモラータ同値である。
• $C^1$-交叉積構成法により、$C^*$-完備化でユニタリ同型を誘導するモラータ同値な双方向バインディングが得られ、同値性が確認される。
• 非有界カスパロフ積は、固有値の成長やシュレーディンガークラスの性質といったスペクトルデータを保存するため、有界内積の精緻化を提供する。