[論文レビュー] Morphisms of certain Banach C*-modules

Фабио Багарелло, Camillo Trapanı|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Advanced Banach Space Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、CQ*-代数におけるGelfand-Naimark-Segal (GNS) 構成の2つの異なる一般化を提示する。これは、C*-代数と quasi*-代数の間をつなぐBanach C*-加群としてのCQ*-代数を、許容性条件を満たす正の線形汎関数および不変性を有する正のセミ線形形式を用いて構成する。主な貢献は、双自己準同型を介したCQ*-代数の表現理論であり、ヒルベルト空間の三重体における明確な作用素実現をもたらす。

ABSTRACT

Morphisms and representations of a class of Banach C*-modules, called CQ*algebras, are considered. Together with a general method for constructing CQ*-algebras, two different ways of extending the GNS-representation are presented.

研究の動機と目的

• C*-代数を一般化するBanach C*-加群のクラスとしてのCQ*-代数の表現理論の構築を目的とする。
• 特に部分*-代数の文脈において、抽象的なCQ*-代数に対する具体的な作用素実現の欠如を解消することを目的とする。
• GNS構成をCQ*-代数へと2つの異なる、非同値なアプローチで拡張することを目的とする。
• CQ*-代数の準同型および表現がヒルベルト空間上での有界作用素をもたらす条件を確立することを目的とする。
• *-半単純なCQ*-代数の役割とその構造を、関数計算および不変性の性質を用いて明確化することを目的とする。

提案手法

• C*-代数に弱い、等長的かつ対合と相性の良いノルムを導入し、そのノルム完備化によってCQ*-代数を構成する。
• CQ*-代数の代数的および位相的構造と整合性を持つように、準同型を双自己準同型として定義する。
• 許容性条件 (s1)–(s4) を満たす正の線形汎関数を用いた、最初のGNS型構成を導入する。
• 不変性および有界性条件を含む (s1)–(s5) を満たす正のセミ線形形式 Ω を用いた、第二のGNS型構成を提案する。
• H_♭ ⊂ H₀ ⊂ H_♯ というヒルベルト空間の三重体を確立し、表現 π が A ∈ A を H_♭ から H_♯ への有界作用素へ写像することを示す。
• コーシー・シュバルツの不等式と不変性条件 (s5) を用いて、π(A*) = π(A)* が成り立つことを証明し、*-表現構造が保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CQ*-代数（非単位的かつ部分*-代数）に対して、GNS構成を一般化することは可能か？
• RQ2 正の線形汎関数またはセミ線形形式にどのような条件を課すと、ヒルベルト空間上での有界表現が保証されるか？
• RQ3 提案された2つのGNS型構成は、基礎的な仮定および得られる表現においてどのように異なるか？
• RQ4 双自己準同型の概念は、CQ*-代数の準同型を定義する際に果たす役割は何か？
• RQ5 CQ*-代数上のセミ線形形式が、作用素実現を通じて*-表現をもたらすための条件は何か？

主な発見

• C*-代数に弱い、等長的かつ対合と相性の良いノルムを導入し、その完備化によって新しいCQ*-代数のクラスが構成される。
• 双自己準同型は、CQ*-代数における自然な準同型と特定され、モジュール構造および対合構造と整合性を持つことが保証される。
• 最初のGNS型構成は、許容性および有界性条件を満たす正の線形汎関数に基づくものであり、B(H_♭, H_♯) への表現をもたらす。
• 第二のGNS型構成は、(s1)–(s5) を満たす正のセミ線形形式 Ω を用い、対合に関する不変性および成長制御条件 (s4) を含むことで、*-表現を定義する。
• 表現 π は π(AX) = π(A)π_♭(X) および π(A*) = π(A)* を満たし、(s5) が成り立つとき π が*-表現であることが確認される。
• 条件 (s1)–(s5) を満たし、Ω(𝕀,𝕀) = 1 を満たすセミ線形形式は、ω(A) = Ω(A,𝕀) によって定まる状態 ω を導出し、標準的なGNS条件を満たす。これにより、2つの構成が結びつけられる。