[論文レビュー] Morphisms of locally compact groupoids endowed with Haar systems

Mădălina Roxana Buneci, Piotr Stachura|ArXiv.org|Nov 24, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクトで、σ-コンパクトかつハウスドルフな群コアードにハール系を備えたものについて、一般化された準同型の概念を導入し、この圏からC*-代数の圏への反変関手を構成する。主な貢献は、これらの準同型に関連する表現から導かれるノルムを用いて定義されるC*-代数 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ の定義であり、群コアードが測度的アーベルである場合には、これが全C*-代数および非全C*-代数と一致する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is extend the notion of morphism of groupoids introduced by Zakrzewski to locally compact $σ$-compact groupoids endowed with Haar systems and to use the extension to construct a covariant functor from this category to a category of $C^{\ast}$-algebras in the sense of Woronowicz.

研究の動機と目的

• Zakrzewskiの群コアード準同型の概念を、局所コンパクトで、σ-コンパクトかつハウスドルフな群コアードに、ハール系を備えたものへ一般化すること。
• 各々の群コアードとハール系に対して、C*-代数 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ を定義すること。
• この群コアードの圏からC*-代数の圏への反変関手を構成すること。
• C*-代数 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ が全C*-代数および非全C*-代数と一致する条件を確立すること。
• C*-代数上のノルムが $ \|f\|_{\text{red}} \leq \|f\| \leq \|f\|_{\text{full}} $ を満たすことを証明し、アーベル性の下で等号が成り立つことを保証すること。

提案手法

• 群コアード $ (\Gamma, \lambda) $ から $ (G, \nu) $ への準同型を、$ \Gamma $ が $ G $ 上に左作用をなし、乗法と可換であり、ハール系と整合性を持つ条件を満たすものとして定義する。
• 各準同型 $ h $ と $ G $ の単位元 $ t \in G^{(0)} $ に対して、$ C_c(\Gamma) $ の*-表現 $ \pi_{h,t} $ を関連付ける。
• $ f \in C_c(\Gamma) $ に対して、ノルム $ \|f\|_h = \sup_t \| \pi_{h,t}(f) \| $ を定義し、$ \|f\| = \sup_h \|f\|_h $ とおく。
• このノルムの下で $ C_c(\Gamma) $ の完備化として $ C^*(\Gamma, \lambda) $ を構成する。
• 準同型 $ h $ を、$ C^*(\Gamma, \lambda) $ から $ C^*(G, \nu) $ の乗法的代数への*-準同型 $ C^*(h) $ に拡張する。
• 準同型の合成が、誘導される*-準同型の合成に対応することを証明し、関手性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトで、σ-コンパクトかつハウスドルフな群コアードにハール系を備えたものに対して、群コアード準同型の概念をどのように一般化できるか？
• RQ2 このような群コアードとハール系に関連する適切なC*-代数の構成は何か？
• RQ3 構成されたC*-代数が標準的な全C*-代数および非全C*-代数と一致する条件は何か？
• RQ4 構成されたC*-代数上のノルムは、標準的な非全ノルムおよび全ノルムとどのように関係しているか？
• RQ5 $(\Gamma, \lambda) \mapsto C^*(\Gamma, \lambda) $ の割り当ては関手的か？

主な発見

• 構成されたノルムは、すべての $ f \in C_c(\Gamma) $ に対して $ \|f\|_{\text{red}} \leq \|f\| \leq \|f\|_{\text{full}} $ を満たし、標準的および新しいC*-ノルムの間の橋渡しを確立する。
• 群コアード $ \Gamma $ が第二可算かつ測度的アーベルである場合、$ C^*(\Gamma, \lambda) $ は、$ \Gamma $ と $ \lambda $ に関連する全C*-代数および非全C*-代数と一致する。
• $ \Gamma^{(0)} $ 上の任意の擬不変測度 $ \mu $ に対して、自明な表現 $ II_\mu $ は $ \|II_\mu(f)\| \leq \|f\| $ を満たし、有界性が保証される。
• 割り当て $ h \mapsto C^*(h) $ は、局所コンパクトで、σ-コンパクトかつハウスドルフな群コアードにハール系を備えた圏からC*-代数の圏への反変関手を定義する。
• 準同型 $ h $ と $ k $ の合成が、*-準同型の合成 $ C^*(kh) = C^*(k)C^*(h) $ を誘導する。関手性が確認される。
• σ-コンパクト性よりも弱い仮定、例えば局所コンパクト性と単位空間の近傍が条件付きコンパクトである正規性の下でも、この構成は有効である。