[論文レビュー] Morse homology on noncompact manifolds

Kai Cieliebak, Urs Frauenfelder|ArXiv.org|Nov 9, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、体係数のもとで非コンパクト多様体上の3種類のモースホモロジーの変種——ノビコフ型ホモロジー $HM$、直接作用素の極限 $\bar{HM}$、逆方向-直接極限 $\underline{HM}$——の関係を確立する。$\bar{HM} \cong HM$ が同型写像により示され、標準的写像 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$ は全射ではあるが、一般には単射ではないことが示され、フローリエ理論における重要な問題を解決し、非コンパクトな状況下におけるモースホモロジーの代数的構造を明確にする。

ABSTRACT

Given a Morse function on a manifold whose moduli spaces of gradient flow lines for each action window are compact up to breaking one gets a bidirect system of chain complexes. There are different possibilities to take limits of such a bidirect system. We discuss in this note the relation between these different limits.

研究の動機と目的

• 非コンパクト多様体上のモースホモロジーの3つの異なる極限 $HM$、$\bar{HM}$、$\underline{HM}$ の間の代数的関係を明確化すること。
• これらのホモロジー群の間の標準的写像が同型、全射、単射となる条件を特定すること。
• K. Onoが提起した、フローリエホモロジーの文脈で写像 $\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$ が同型であるかどうかという問題を解決すること。
• 弱く単調なシンプレクティック多様体のような状況で、直接計算によって等価性が示された $HM \cong \bar{HM}$ の背後にある代数的説明を提供すること。
• 反例を用いて $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$ が一般には単射でないことを示し、$\bar{HM} \neq 0$ であっても成り立つこと。

提案手法

• 著者らは、固定された作用窓 $[a,b]$ に対してモースホモロジー $HM^{[a,b]}_*$ を定義し、勾配フローラインのモジュライ空間が破壊までにコンパクトであると仮定する。
• 作用窓 $[a,b]$ をインデックスとする双方向のシステムとしてのチェイン複体を構成し、逆極限と直接極限の形成を可能にする。
• 3つのホモロジー群を定義する：$HM$ はチェイン複体のノビコフ完備化によるもの、$\bar{HM} = \varinjlim_{b \to \infty} \varprojlim_{a \to -\infty} HM^b_a$、$\underline{HM} = \varprojlim_{a \to -\infty} \varinjlim_{b \to \infty} HM^b_a$。
• 標準的写像 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$、$\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$、$\underline{\rho}: HM \to \underline{HM}$ を分析し、体係数のもとでそれらの性質を証明する。
• 非連結な直線の直和 $\bigsqcup_{n=1}^\infty \mathbb{R}$ を用いた明示的な反例を提示し、$\kappa$ が単射でないことを示す一方で $\bar{HM} \neq 0$ であることを示す。
• ホモロジー類の構造を分析し、$\mathbb{Z}$-加群における可除性の議論を用いて、$\bar{\rho}$ が同型であり、$\kappa$ が全射であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が体であるとき、標準的写像 $\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$ は同型であるか？
• RQ2 $\bar{HM}$ と $\underline{HM}$ の関係は何か？ また、写像 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$ は単射か？
• RQ3 非コンパクト多様体に体係数を用いた場合、一般に $HM \cong \bar{HM}$ が成り立つか？
• RQ4 非コンパクト多様体上のモースホモロジーの代数的構造を、有限次元設定を超えて一般化できるように公理化できるか？
• RQ5 一般に $\kappa$ が単射でないのはなぜか？ どのような系の構造的特徴がこれに起因するか？

主な発見

• 体係数のもとで写像 $\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$ は同型であることが示され、ノビコフ完備化と直接作用素の極限が一致することを確立する。
• 写像 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$ は全射ではあるが、一般には単射ではない。反例により $\underline{HM} = 0$ かつ $\bar{HM} \neq 0$ である場合が示された。
• 反例は、$f(\overline{c}_n) = n$ および $f(\underline{c}_n) = -n$ であるような臨界点を持つ、直線の非連結な直和 $\bigsqcup_{n=1}^\infty \mathbb{R}$ を含む。この場合、非自明な $\bar{HM}$ が得られるが、$\underline{HM}$ は自明である。
• $\kappa$ の非単射性は、特に遷移写像の無限大の成長に起因する、逆極限系におけるミッターグレーファー条件の不成立に起因する。
• 反例で $\bar{HM} = 0$ であることを示すための証明は、遷移写像における2の任意の高次のべきによる可除性に依存し、係数が消えることを強制する。
• 係数 $a_j \in \{0,1\}$ を持つ非自明なクラス $\xi = \sum a_j \underline{c}_j$ が $HM$ に存在し、$\partial$ の像に属さないことを示すことで、$HM \neq 0$ であることが確認される。一方で $\bar{HM} = 0$ であるため、反例が正当化される。