[論文レビュー] Morse--Sard theorem and Luzin $N$-property: a new synthesis result for Sobolev spaces

Adele Ferone, Mikhail V. Korobkov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Sobolevおよび分数階Sobolev写像におけるMorse–Sard定理とLuzin N性質の新しい合成を確立し、集合 $ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $ が $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ を満たすならば、$ \mathcal{H}^\sigma(v(E)) = 0 $ であることを示す。ここで $ \sigma = m + \frac{\tau - m}{k + \alpha} $ であり、$ \tau < n $ のとき、可積分性 $ p $ に鋭い依存関係を示し、古典的結果を最小限の正則性設定に拡張する。

ABSTRACT

For a regular (in a sense) mapping $v:\mathbb{R}^n o \mathbb{R}^d$ we study the following problem: {\sl let $S$ be a subset of $m$-critical a set $ ilde Z_{v,m}=\{{ m rank} abla v\le m\}$ and the equality $\mathcal{H}^τ(S)=0$ (or the inequality $\mathcal{H}^τ(S)0$. Does it imply that $\mathcal{H}^σ(v(S))=0$ for some $σ=σ(τ,m)$?} (Here $\mathcal{H}^τ$ means the $τ$-dimensional Hausdorff measure.) For the classical classes $C^k$-smooth and $C^{k+α}$-Holder mappings this problem was solved in the papers by Bates and Moreira. We solve the problem for Sobolev $W^k_p$ and fractional Sobolev $W^{k+α}_p$ classes as well. Note that we study the Sobolev case under minimal integrability assumptions $p=\max(1,n/k)$, i.e., it guarantees in general only {\it the continuity} (not everywhere differentiability) of a mapping. In particular, there is an interesting and unexpected analytical phenomena here: if $τ=n$ (i.e., in the case of Morse--Sard theorem), then the value $σ(τ)$ is the same for the Sobolev $W^k_p$ and for the classical $C^k$-smooth case. But if $τ

研究の動機と目的

• Sobolev空間および分数階Sobolev空間の写像に対して、古典的Morse–Sard定理とLuzin N性質を、最小限の可積分性仮定のもとで拡張すること。
• 集合 $ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $ に対して $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ が成り立つとき、$ \mathcal{H}^\sigma(v(E)) = 0 $ となる最適な次元 $ \sigma $ を特定すること。
• Sobolev空間における可積分性パラメータ $ p $ に対する臨界次元 $ \sigma $ の依存関係を解明すること、特に $ \tau < n $ の場合に注目すること。
• 最適な正則性条件下で $ W^{k}_{p} $ および $ W^{k+\alpha}_{p} $-写像に対する鋭い $ (\tau, \sigma, m) $-N性質を確立すること。

提案手法

• 代数幾何学に根ざしたY. Yomdinによる多項式の近臨界値に関する深いエントロピー推定の使用。
• Sobolev写像の等高値集合に対するHausdorff測度推定に関する、J. BourgainおよびJ. Kristensenとの共同研究結果の応用。
• 一般化されたcoarea公式およびHölder型不等式を用いて、写像による逆像の大きさを制御すること。
• 立方体上の局所的推定への問題の還元、および導関数の $ L_p $-ノルムによる制御を伴う被覆議論。
• 定理2.1の集合関数 $ \Phi $ を用いて、例外集合の大きさを定量化し、N性質の条件を検証すること。
• 導関数の $ \|h\|_{L_p(Q_i)} $ および $ \|h\|_{L_{p,1}(Q_i)} $ の減衰推定を用いて、$ \sum \ell(Q_i)^\tau \leq C $ の下で厳密なN性質を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分性 $ p = \max(1, n/k) $ のSobolev写像 $ v \in W^{k}_{p}({\mathbb{R}}^n, {\mathbb{R}}^d) $ に対して、$ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ が $ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $ を満たすとき、$ (\tau, \sigma, m) $-N性質が成立するか？
• RQ2 臨界次元 $ \sigma $ が $ \tau < n $ のとき $ p $ にどのように依存するか。これは古典的 $ C^k $-ケースとはどのように異なるか？
• RQ3 最小可積分性およびHölder型正則性のもとで、$ W^{k+\alpha}_{p} $-写像に対して厳密な $ (\tau, \sigma, m) $-N性質を確立できるか？
• RQ4 Sobolev空間において、鋭い境界 $ \sigma = m + \frac{\tau - m}{k + \alpha} $ が有効であるか。また、$ p \to \infty $ の極限で、これは古典的 $ C^k $-結果に還元されるか？
• RQ5 Yomdinのエントロピー推定は、Sobolev写像による $ \mathcal{H}^\tau $-測度が有限な集合の逆像の大きさを制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 可積分性 $ p = \max(1, n/k) $ の $ v \in W^{k}_{p}({\mathbb{R}}^n, {\mathbb{R}}^d) $ に対して、$ E \subset \{ \mathrm{rank}\, \nabla v \leq m \} $ が $ \mathcal{H}^\tau(E) < \infty $ を満たすならば、$ \sigma = m + \frac{\tau - m}{k + \alpha} $ に対して $ \mathcal{H}^\sigma(v(E)) = 0 $ が成り立つ。ここで $ \alpha = 0 $ は $ W^k_p $ の場合を意味する。
• $ \tau = n $ のとき、臨界次元 $ \sigma $ は古典的 $ C^k $-ケースと同一であり、正則性クラス間の一貫性が確認される。
• $ \tau < n $ のとき、$ \sigma $ の値は $ p $ に明示的に依存し、$ p \to \infty $ の極限で古典的 $ C^k $-結果が回復される。
• 同じ条件の下で、$ W^{k+\alpha}_{p} $-写像に対しても厳密な $ (\tau, \sigma, m) $-N性質が成立し、同じ $ \sigma $-式が成り立ち、$ C^{k,\alpha+} $-型正則性のもとで保存される。
• 証明は、立方体分割における精密な $ L_p $-ノルム推定およびHölder不等式に依拠しており、多項式の近臨界値に対するYomdinのエントロピー推定が中心的役割を果たす。
• 微分可能性が失敗するか、導関数が大きい集合 $ A_v $ は、$ \mathcal{H}^\mu $-測度の意味で無視可能であり、問題を正則化された等高値集合に還元できる。