[論文レビュー] Morse-Smale systems and horseshoes for three dimensional singular flows

Shaobo Gan, Dawei Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、任意の3次元 $C^1$ ベクトル場が、Morse-Smale系またはスメールの馬蹄を示す系の $C^1$ 近似として表せることを確立し、流れに対するパリスの予想の3次元版を解決する。証明では断面ポアンカレ写像とホモクライン交叉の解析を用いて、Morse-Smale近似が不可能な場合、横断的ホモクライン軌道の存在が示され、その結果として馬蹄力学が生じることを示している。

ABSTRACT

We prove that for every three-dimensional vector field, either it can be accumulated by Morse-Smale ones, or it can be accumulated by ones with a transverse homoclinic intersection of some hyperbolic periodic orbit in the $C^1$ topology.

研究の動機と目的

• ベクトル場における3次元版パリスの予想を解決すること。この予想は、任意の系がMorse-Smale系または馬蹄を有する系によって近似可能であるというものである。
• 3次元流れにおける特異点が、微分同相写像理論で用いられる技法の直接適用を妨えるという課題に対処すること。
• 3次元ベクトル場がMorse-Smale系によって近似可能でない場合、その系は横断的ホモクライン交叉を有する必要があり、その結果として馬蹄力学が生じることを示すこと。
• 3次元流れにおけるMorse-Smaleベクトル場および非自明な双曲的基本集合（馬蹄）を有する系の集合が、3次元流れの $C^1$ 位相において稠密であることを確立すること。

提案手法

• 断面ポアンカレ写像を用いて、3次元流れの力学を表面への微分同相写像の研究に還元し、双曲的構造の解析を可能にする。
• 横断的ホモクライン交叉の理論を応用し、ポアンカレおよびスメールの結果（このような交叉が馬蹄力学を意味する）を活用する。
• 弱いクプラ・スメール条件を用いた摂動の構成により、ホモクライン軌道を保存または追加し、微小な $C^1$ 摂動においても安定性を保証する。
• 特異点付近における不安定多様体の挙動の分析、特に不安定多様体の右分離子および左分離子の区別と局所的断面との交点の解析。
• ホモクライン軌道の数の最大性に基づく背理法を用いて、横断的ホモクライン軌道の存在が馬蹄構造を示唆することを示す。
• クロヴィジエの微分同相写像に関する研究から適応された方法を用いて、特異点を含むトランジット集合を解析する、修正された中心モデル技法の使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の3次元 $C^1$ ベクトル場は、Morse-Smale系またはスメールの馬蹄を有する系によって $C^1$ 近似可能か？
• RQ2 3次元ベクトル場がMorse-Smale系によって近似可能でない場合、その系は必然的に複雑な力学的挙動を示すのか？
• RQ3 3次元流れにおける特異点は、クロヴィジエの中心モデルのような微分同相写像に基づく技法の直接適用をどのように妨げるか？
• RQ4 3次元流れにおける横断的ホモクライン交叉の存在が、馬蹄の存在を示すための条件は何か？
• RQ5 $C^1$ 摂動により、特異点のホモクライン軌道の数を増加させることは可能か？ その結果、鎖状再帰集合の構造にどのような意味があるか？

主な発見

• 任意の3次元 $C^1$ ベクトル場は、Morse-Smale系またはスメールの馬蹄を示す系の $C^1$ 近似として表せることを確認し、パリスの予想の3次元版を裏付けた。
• 3次元ベクトル場がMorse-Smale系によって近似可能でない場合、双曲的周期軌道の横断的ホモクライン交叉を有する必要があり、その結果として馬蹄が存在することを示した。
• 特異点を有する3次元特異的流れにおけるトランジット集合の力学は、微分同相写像とは本質的に異なる。特異点の存在により、標準的なシャドウング・レムマの適用が不可能になる。
• 証明では、Morse-Smale近似が不可能な場合、少なくとも1つの横断的ホモクライン軌道が存在することを示し、摂動により $n$ 個より多くのホモクライン軌道を持つ系を構成可能である。これは最大性に矛盾し、結果として馬蹄構造が生じることを示唆する。
• 特異点付近における不安定多様体の分離子（右および左）の分析により、帰還写像における回転保存的または反転的挙動が、混合的または非混合的力学を生じさせ、両者とも馬蹄の存在を支持することが判明した。
• 本結果により、閉じた3次元多様体上の $C^1$ ベクトル場空間において、Morse-Smaleベクトル場および非自明な双曲的基本集合を有するベクトル場の和集合が稠密であることが確立された。