[論文レビュー] Morse theory and geodesics in the space of Kähler metrics

Tamás Darvas|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ケーラー計量空間内の $C^3$ 測地線の境界データと初期接ベクトルの臨界点の間のモース理論的関係を確立する。複素モンジュ・アンパーレ方程式の解析と摂動技法を用いて、滑らかな測地線が任意のケーラー汎関数を常に結ぶとは限らないことを証明している。特に、多様体が $\mathbb{C}P^1$ でない場合には、そのような非接続可能なペアは $C^\infty$ 位相において空でない開集合をなす。

ABSTRACT

Given a compact Kähler manifold $(X,ω_0)$ let $\mathcal H_{0}$ be the set of Kähler forms cohomologous to $ω_0$. As observed by Mabuchi \cite{m}, this space has the structure of an infinite dimensional Riemannian manifold, if one identifies it with a totally geodesic subspace of $\mathcal H$, the set of Kähler potentials of $ω_0$. Following Donaldson's research program, existence and regularity of geodesics in this space is of fundamental interest. In this paper, supposing enough regularity of a geodesic $u:[0,1] o \mathcal H$, connecting $u_0 \in \mathcal H$ with $u_1 \in \mathcal H$, we establish a Morse theoretic result relating the critical points of $u_1-u_0$ to the critical points of $\dot u_0 = du/dt|_{t=0}$. As an application of this result, we prove that on all Kähler manifolds, connecting Kähler potentials with smooth geodesics is not possible in general. In particular, in the case $X eq \Bbb C P^1$, we will also prove that the set of pairs of potentials that can not be connected with smooth geodesics has nonempty interior. This is an improvement upon the findings of \cite{lv} and \cite{dl}.

研究の動機と目的

• ケーラー計量空間内の $C^3$ 測地線の初期速度 $\dot{u}_0$ の臨界点と境界差 $u_1 - u_0$ の臨界点の間のモース理論的関係を確立すること。
• ケーラー汎関数の無限次元空間 $\mathcal{H}$ における測地線の存在性と正則性を、特に $C^3$ 正則性仮定の下で調査すること。
• 滑らかな測地線が一般にすべてのケーラー汎関数のペアを結ぶことができないことを示し、先行する非存在結果を拡張すること。
• 多様体 $X \neq \mathbb{C}P^1$ のとき、滑らかな測地線で結べない汎関数ペアの集合が $C^\infty(X) \times C^\infty(X)$ において空でない内部を持つこと。

提案手法

• 初期接ベクトル $\dot{u}_0$ の臨界点におけるモンジュ・アンパーレ葉層の一次変動を分析し、$\dot{u}_0$ の臨界点と $u_1 - u_0$ の臨界点との関係を確立する。
• 測地線を境界データを指定した解としてモデル化するため、$\overline{S} \times X$ 上で複素モンジュ・アンパーレ方程式 $(\omega + i\partial\overline{\partial}u)^{n+1} = 0$ を適用する。ここで $S = \{s \in \mathbb{C} : 0 < \text{Im}(s) < 1\}$ である。
• $C^\infty$ 位相における摂動論法を用いて、$u_1 - u_0$ のモース性および臨界点構造を保ちながら、汎関数の $C^\infty$ 正則性を維持する。
• ドナルドソンの補題（補題 4.1）の修正版を適用し、摂動後のケーラー形式の正定性を保証するための切り捨て関数を構成する。
• 解の $\omega$-擬上への強調性を用い、二階微分を比較することで、特定の境界条件の下で滑らかな解が存在すると仮定した場合の矛盾を導出する。
• 文献 [DL] の鋭い正則性境界に関する結果を活用し、$C^3$ 仮定が最適であり、より高い正則性を仮定することはできないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期速度 $\dot{u}_0$ の臨界点構造は、$C^3$ 測地線の境界差 $u_1 - u_0$ の臨界点と関係があるか？
• RQ2 $C^3$ 正則性のもとで、空間 $\mathcal{H}$ 内の任意の二つのケーラー汎関数を滑らかな測地線が常に結べるか？
• RQ3 滑らかな測地線で結べない汎関数ペアの集合は、$C^\infty$ 位相において開集合か？
• RQ4 モース関数 $u_1 - u_0$ がもつ最小の臨界点数は何か？ そしてこれは初期速度 $\dot{u}_0$ にどのような制約を与えるか？
• RQ5 特別な対称性を持つ多様体に限らず、すべてのコン pact ケーラー多様体において滑らかな測地線の非存在性を確立できるか？

主な発見

• 初期速度 $\dot{u}_0$ のすべての臨界点は、$u_1 - u_0$ の臨界点に含まれる。これにより、境界データと初期接ベクトルの間のモース理論的関係が確立される。
• もし $u_1 - u_0$ がモース関数であれば、$\dot{u}_0$ もモース関数であり、最小臨界点数が保存される。
• 任意のコン pact ケーラー多様体 $(X, \omega_0)$ に対して、滑らかな測地線で結べない汎関数のペア $u_0, u_1 \in \mathcal{H}$ が存在する。
• 多様体 $X \neq \mathbb{C}P^1$ のとき、そのような非接続可能なペアの集合は $C^\infty(X) \times C^\infty(X)$ において空でない内部を持つ。これは、この現象が一般的であることを示唆する。
• 非存在結果は鋭い：[DL] における重要な不等式の違反と $C^3$ 解の仮定の矛盾により、$C^3$ 仮定が最適であることが示される。
• 特定の臨界点構造を持つ境界データに対して $C^3$ 解が存在すると仮定した場合、$v'_{z_j z_k}(x_0)$ と $\omega'$ 項を含む微分不等式が破られるため、矛盾が生じる。