[論文レビュー] Morse theory and higher torsion invariants I

Sebastian Goette|ArXiv.org|Nov 20, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ファイバーごとのモース関数と平坦ベクトル束に関連するファミリー型トム-スメール複体から構成された高次 torsion 不変量と、Bismut-Lott の高次解析的 torsion の比較を確立する。追加の条件下では、torsion が Igusa の高次 Franz-Reidemeister torsion と関係づけられ、微分同相なファイバーをもつが、束として微分同相でない無限個の滑らかさの異なる束の族を検出可能となる。

ABSTRACT

We compare the higher analytic torsion of Bismut and Lott of a fibre bundle p: M -> B equipped with a flat vector bundle F -> M and a fibre-wise Morse function h on M with a higher torsion T that is constructed in terms of a families Thom-Smale complex associated to h and F, thereby extending previous joint work with Bismut. Under additional conditions on F, the torsion T is related to Igusa's higher Franz-Reidemeister torsion. As an application, we use the higher analytic torsion to detect infinite families of smooth bundles p_i: M -> B with diffeomorphic fibres that are homeomorphic but not diffeomorphic as bundles.

研究の動機と目的

• Bismut と Lott の高次解析的 torsion を、ファイバーごとのモース関数とファイバー束上の平坦ベクトル束に関連するファミリー型トム-スメール複体から導かれる torsion 不変量と比較すること。
• Bismut との以前の共同研究を拡張し、ファイバーごとのモース関数と平坦ベクトル束を組み込むこと。
• 平坦束に追加の条件が満たされる場合に、構築された torsion が Igusa の高次 Franz-Reidemeister torsion と関係づけられることを示すこと。
• 解析的 torsion を用いて、微分同相なファイバーをもつが、束として微分同相でない滑らかな束の無限族を検出すること。

提案手法

• ファイバーごとのモース関数とファイバー束上の平坦ベクトル束から、ファミリー型トム-スメール複体を構成する。
• トム-スメール複体のコホモロジーを用いて、高次 torsion 不変量 T を定義する。
• ラプラシアン作用素の漸近的解析を通じて、Bismut と Lott の高次解析的 torsion $\mathcal{T}$ と T を比較する。
• パrameter を大きくした極限において、Witten 変形技術を用いて解析的 torsion を位相的 torsion と関連付ける。
• Cheeger-Müller 定理を用いて、平坦束の文脈で解析的 torsion と Reidemeister torsion を関連付ける。
• Whitehead 空間と torsion 不変量を用いて、ファイバー束の族における非自明な滑らか構造を検出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bismut と Lott の高次解析的 torsion は、ファイバーごとのモース関数と平坦ベクトル束に関連するファミリー型トム-スメール複体から構成された torsion 不変量とどのように関係するか？
• RQ2 平坦束に追加の条件が満たされるとき、構築された torsion T はいつ Igusa の高次 Franz-Reidemeister torsion と一致するか？
• RQ3 解析的 torsion は、微分同相なファイバーをもつファイバー束の族における滑らか構造を検出可能か？
• RQ4 ファイバーごとのモース関数は、解析的 torsion と位相的 torsion 不変量を関連付ける際に果たす役割は何か？
• RQ5 Witten 変形と Cheeger-Müller 定理は、解析的 torsion と高次 torsion の比較をどのように支援するか？

主な発見

• 高次解析的 torsion $\mathcal{T}$ は、ファイバーごとのモース関数と平坦ベクトル束に関連するファミリー型トム-スメール複体から構成された torsion 不変量 $T$ と比較されている。
• 平坦束 $F$ に追加の条件が満たされる場合、torsion $T$ が Igusa の高次 Franz-Reidemeister torsion と関係づけられることが示された。
• この比較により、微分同相なファイバーをもつが、束として微分同相でない滑らかなファイバー束の無限族を検出可能となった。
• この手法は、ラプラシアン作用素の漸近的解析と Witten 変形に依拠しており、解析的 torsion と位相的 torsion 不変量を関連付ける。
• 本研究は、Bismut との以前の共同研究を拡張し、解析的 torsion フレームワークにモース理論的構造を統合した。
• 本フレームワークは、高次 torsion 不変量を用いてファイバー束の族における滑らか構造の区別を可能にする新たなツールを提供する。