[論文レビュー] Morse theory and higher torsion invariants II

Sebastian Goette|ArXiv.org|May 20, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、同相的平坦ベクトルバンドルとファイバーごとのコホロロジーに平行な計量を持つコンパクト多様体の族に対して、イグサの高次フランツ＝ライデマイスター torsion を一般化する。ファイバーごとのモース関数を用いて、この torsion とビスマールト＝ロットの高次解析的 torsion の間の正確な関係式を確立し、それらの差がリーマン・ゼータ関数とオイラー類を含む特性類によって与えられることを示す。この結果は、平行計量の存在下で、チーガー＝ミュラー定理を高次 torsion 不変量へと拡張する。

ABSTRACT

Let p: M -> B be a family of compact manifolds equipped with a unitarily flat vector bundle F -> M. We generalize Igusa's higher Franz-Reidemeister torsion τ(M/B;F) to the case that the fibre-wise cohomology H^*(M/B;F) -> B carries a parallel metric. If moreover M admits a fibre-wise Morse function, we compute the difference of τ(M/B;F) and the higher analytic torsion \Cal T(M/B;F). We also generalise the examples given in math.DG/0111222 .

研究の動機と目的

• ファイバーごとのコホロロジー bundle がガウス＝ミンクの接続に関して平行計量を持つような族へのイグサの高次フランツ＝ライデマイスター torsion の拡張。
• ファイバーごとのモース関数が存在する状況で、この一般化された torsion とビスマールト＝ロットの高次解析的 torsion を比較すること。
• 解析的 torsion と高次フランツ＝ライデマイスター torsion の差を特性類および曲率形式を用いて正確な式で表すこと。
• 両方の torsion がユニタリホワイトヘッド空間上で同じ普遍的類を誘導することを示し、チーガー＝ミュラー定理を高次 torsion 不変量へと拡張すること。

提案手法

• C をファイバーごとのモース関数 h の臨界集合とする。バンドル V = \tilde{p}_* (F|_C) \otimes o(T^uX) 上に平坦なスーパーパラレル接続 A' を構成する。
• フィルトレーションを尊重し、スペクトル系列 E_1 項で同型を誘導する写像 I: \Omega^*(M;F) \to \Omega^*(B;V) を定義する。
• V 上の計量 g^V と h によって誘導される自己準同型 h^V を用いて、解析的 torsion 形式 T(A', g^V, h^V) \in \Omega^*(B) を定義する。
• チェーン＝シモンズ類 \widetilde{\operatorname{ch}}(\nabla^H, g^{H}_{L_2}, g^{H}_V) と、リーマン・ゼータ関数を用いて定義される {}^0\!J-類を用いて、torsion 間の差を表現する。
• ビスマールト＝ロットの解析的 torsion 形式 \mathcal{T}(T^H M, g^{TX}, \nabla^F, g^F) を適用し、コhomological 公式を用いて一般化された \tau(M/B;F) と比較する。
• 両方の torsion \tau(M/B;F) と \mathcal{T}(M/B;F) がユニタリホワイトヘッド空間 Wh^u(M(\mathbb{C}), U) 上で同じ普遍的類を誘導することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イグサの高次フランツ＝ライデマイスター torsion は、ファイバーごとのコホロロジー bundle に平行計量を持つ族にどのように一般化できるか？
• RQ2 ファイバーごとのモース関数が存在する場合、一般化された高次フランツ＝ライデマイスター torsion とビスマールト＝ロットの高次解析的 torsion の間の正確な関係は何か？
• RQ3 解析的 torsion と高次 torsion 不変量の差は、リーマン・ゼータ関数とオイラー類を含む特性類で表現可能か？
• RQ4 両方の torsion 不変量は、ユニタリホワイトヘッド空間上で同じ普遍的類を誘導するか？

主な発見

• 高次解析的 torsion \mathcal{T}(M/B;F) と一般化された高次フランツ＝ライデマイスター torsion \tau(M/B;F) の差は、H^*(B; \mathbb{R}) 内で \int_{M/B} e(TX) \cdot {}^0\!J(TX) \cdot \operatorname{rk} F で与えられる。
• この公式は、B 上の完全形式を modulo として成り立ち、補正項には \zeta'(-2k) と次数 4k のチャーン類を用いて定義される {}^0\!J-類が含まれる。
• torsion 不変量 \tau(M/B;F) と \mathcal{T}(M/B;F) は、ユニタリホワイトヘッド空間 Wh^u(M(\mathbb{C}), U) 上で同じ普遍的類を誘導する。
• この構成は、自明なバンドルに限らず、任意のユニタリ平坦ベクトルバンドル F に対して有効であり、以前の結果を一般化する。
• この結果は、ファイバーごとのモース関数が不要であるという予想を裏付ける。ただし、十分大きな N に対して \mathbb{R}P^{2N} との積をとることを仮定すれば成立する。
• 本論文は、有限次元 torsion T(A', g^V, h^V) を、普遍空間 Wh^u(M(\mathbb{C}), GL(\mathbb{C})) を用いて新たな形で記述する。