[論文レビュー] Morse theory, closed geodesics, and the homology of free loop spaces

Alexandru Oancea|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 69被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、リーマン多様体上の閉じた測地線を分析するモース理論の役割について包括的なサーベイを提供している。特に、エネルギー汎関数の定義域としての自由ループ空間を焦点とする。変分法、インデックス理論、ホモロジー計算（特に $SO(2)$ および $O(2)$ の対称性を用いて）を応用することで、2次元球面 $S^2$ 上に無限個の幾何的に異なる素測地線が存在することを確立し、モース理論的およびシンプレクティック的手法によって長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

This is a survey paper on Morse theory and the existence problem for closed geodesics. The free loop space plays a central role, since closed geodesics are critical points of the energy functional. As such, they can be analyzed through variational methods. The topics that we discuss include: Riemannian background, the Lyusternik-Fet theorem, the Lyusternik-Schnirelmann principle of subordinated classes, the Gromoll-Meyer theorem, Bott's iteration of the index formulas, homological computations using Morse theory, $SO(2)$- vs. $O(2)$-symmetries, Katok's examples and Finsler metrics, relations to symplectic geometry, and a guide to the literature. The Appendix written by Umberto Hryniewicz gives an account of the problem of the existence of infinitely many closed geodesics on the $2$-sphere.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上の閉じた測地線の存在および多重性にモース理論を応用する方法をサーベイすること。
• 自由ループ空間 $\Lambda M$ がエネルギー汎関数の自然な定義域である理由を説明し、その臨界点が閉じた測地線であることを明らかにすること。
• ベッチ数や等周ホモロジーなどのホモロジー不変量が複数の閉じた測地線を検出する役割を明確にすること。
• モース理論、曲線短縮フロー、およびコンラス・インデックス理論を用いて、$S^2$ 上の無限個の閉じた測地線問題を解決すること。
• 測地線問題をハミルトニアン力学およびフィンスラー幾何学と結びつけること、特にカトクの例およびシンプレクティック退化最大値を通じて。

提案手法

• エネルギー汎関数 $E(\gamma) = \int_{S^1} |\dot{\gamma}(t)|^2 dt$ の臨界点を解析するため、$H^1$-正則な自由ループからなるヒルベルト多様体 $\Lambda M$ 上にモース理論を適用する。
• サブオーダークラスに基づくリュスティルニク＝シュニレルマンの原理を用いて、複数の臨界レベルを検出することで、複数の閉じた測地線の存在を示す。
• ボットの反復公式を用いて反復測地線のモース指数および退化度を計算し、幾何的に異なる測地線を区別する上で不可欠な情報を得る。
• $SO(2)$ および $O(2)$ の対称性を用いた等周ホモロジーを用いてホモロジー計算を精緻化し、非自明な臨界点構造を検出する。
• 曲線短縮フロー（グレイソンのフロー）を用いて埋め込まれたループのミニマックス族を構成し、高インデックスおよび横断的回転数が大きな特別な測地線を同定する。
• シンプレクティック退化最大値（SDM）およびコンラス・インデックス理論の概念を活用し、高インデックスの退化臨界点が存在する場合に無限個の閉じた測地線が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の閉じたリーマン多様体は、少なくとも1本の閉じた測地線をもつのか？
• RQ2 特に2次元球面を含む、任意の閉じたリーマン多様体は、無限個の幾何的に異なる素測地線をもつのか？
• RQ3 自由ループ空間 $\Lambda M$ のホモロジー不変量は、閉じた測地線の存在および多重性をどのように反映するのか？
• RQ4 対称性（例：$SO(2)$ と $O(2)$）は、閉じた測地線のホモロジー計算においてどのような役割を果たすのか？
• RQ5 ハミルトニアン力学およびフローリエ理論の技法は、非可逆なフィンスラー計量へのモース理論的結果をどのように拡張するのか？

主な発見

• リュスティルニク＝フェットの定理により、任意の閉じたリーマン多様体上に少なくとも1本の閉じた測地線が存在することが保証される。
• 2次元球面では、バンゲルトのウエストに関する研究と、アニュラス上での面積保存写像に関するフランクスの結果を組み合わせることで、無限個の幾何的に異なる閉じた測地線が存在することが保証される。
• グレイソンの曲線短縮フローを用いたシンプレクティックミニマックス議論により、インデックスと退化度の和が3以上で、横断的回転数が1以上の特別な単純閉測地線 $\gamma_*$ が特定される。
• もし $\gamma_*$ の横断的回転数がちょうど1であれば、それはシンプレクティック退化最大値（SDM）となり、ヒングストンおよびジンツブルグの結果により、無限個の閉じた測地線の存在が強制される。
• アングネントの研究により、バーキホフ・アニュラスへの再帰写像が正しく定義されていなくても、$p/q$-サテライト測地線の存在が、隔離ブロックおよびコンラス・インデックス理論を用いて、無限個の閉じた測地線の存在を示唆する。
• 接触ホモロジーおよびフローリエ理論的技法を用いることで、非可逆なフィンスラー計量に対しても結果が拡張され、モース理論的枠組みの広範な適用可能性が示された。