[論文レビュー] Morse theory methods for quasi-linear elliptic systems of higher order

Guangcun Lu|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヒルバート空間上の非2回連続微分可能関数への局所モース理論を新たに構築し、一般化されたGromoll-Meyer分解定理と弱いMarino-Prodi摂動結果を導入する。これらの道具により、臨界点および分岐定理の一般化が可能となり、それらはHypothesis $\mathfrak{F}_{p,N}$の下で変分法を用いて高次の擬線形楕円型系の研究に応用される。これにより、従来の$C^2$関数への制限を超えて結果が拡張される。

ABSTRACT

We develop the local Morse theory for a class of non-twice continuously differentiable functionals on Hilbert spaces, including a new generalization of the Gromoll-Meyer's splitting theorem and a weaker Marino-Prodi perturbation type result. With them some critical point theorems and famous bifurcation theorems are generalized. Then we show that these are applicable to studies of quasi-linear elliptic equations and systems of higher order given by multi-dimensional variational problems as in (1.3).

研究の動機と目的

• 古典的なGromoll-Meyer理論の制限を克服し、ヒルバート空間上の非2回連続微分可能関数への局所モース理論を拡張すること。
• このような関数に対して、新たな分解定理と弱いMarino-Prodi型摂動結果を確立すること。
• 無限次元設定におけるポテンシャル作用素の臨界点および分岐定理を一般化すること。
• 発展させた理論を、変分問題から生じる高次の擬線形楕円型系に応用すること。
• $p \geq 2$および$m$次系に対して、Hypothesis $\mathfrak{F}_{p,N}$の下で新しい枠組みの適用可能性を検証すること。

提案手法

• 非$C^2$である可能性のある$C^1$関数に対して、臨界点構造と非退化臨界点近傍の局所分解に基づき、一般化されたGromoll-Meyer分解定理を導入する。
• ポテンシャル作用素の族に対して、パラメータ依存の分解とシフト定理を構築し、滑らかでない設定における分岐解析を可能にする。
• 完全な$C^2$正則性が欠如する状況下でも処理可能な、ポテンシャル作用素の族に対する新しい陰関数定理を用いる。
• $C^2$正則性が完全にない関数に対しても適用可能な、Marino-Prodi摂動結果の弱いバージョンを確立し、分岐解析における頑健性を保証する。
• Sobolev空間$W_0^{m,p}(\Omega)$上に定義された関数に対して、Hypothesis $\mathfrak{F}_{p,N}$の下で$(PS)$および$(C)$-条件を検証する。
• 一般化された臨界点理論を用いて、高次の擬線形楕円型系に対するモース不等式および分岐結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間上の非$C^2$関数に対して、特に高次の楕円型系の文脈で、モース理論を拡張することは可能か？
• RQ2 2回連続微分可能でない$C^1$関数に対して、Gromoll-Meyer分解定理の適切な一般化は何か？
• RQ3 関数が$C^2$滑らかでない場合、分岐定理をどのように一般化できるか？
• RQ4 高次の擬線形楕円型系に関連する関数に対して、$(PS)$または$(C)$-条件が成り立つのはどのような条件下か？
• RQ5 $p \geq 2$の下で、Hypothesis $\mathfrak{F}_{p,N}$の下で、新しい理論が形式(1.3)の変分問題に適用可能か？

主な発見

• 非$C^2$である可能性のある$C^1$関数に対して、一般化されたGromoll-Meyer分解定理が確立され、滑らかでない設定でも局所モース理論が可能になる。
• 弱いバージョンのMarino-Prodi摂動結果が導出され、正則性が低い条件下でも分岐解析が可能になる。
• Hypothesis $\mathfrak{F}_{p,N}$の下で、関数$\mathcal{F}$の$(PS)$および$(C)$-条件が検証され、臨界点列のコンパクト性が保証される。
• 関数$\mathcal{F}$に対してモース不等式が証明され、臨界群が基になる空間の位相的不変量と関連づけられる。
• 高次の擬線形楕円型系に対して、分岐定理が一般化され、Chow-LauterbachおよびRabinowitzの結果が非$C^2$設定へと拡張される。
• 理論は、形式(1.3)の多次元変分問題に成功裏に適用され、高次の楕円型系の研究における有用性が示された。