[論文レビュー] Morse Theory of Attractors via Lyapunov Functions

Desheng Li|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2010

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完備な距離空間上の半フローにおける吸引集合に対して、連続的かつ径方向に無限大に発散するグローバルなモーレス＝ライアプノフ関数を構成することにより、モーレス理論の枠組みを構築する。これにより、変形補題とモーレス集合の臨界群の定義が可能となり、滑らかでない設定へ古典的モーレス理論を拡張する。主な貢献は、滑らかでない状況において、連続的ライアプノフ関数のみを用いてモーレス不等式と方程式を確立することにある。動的システムおよび制御理論への応用を含む。

ABSTRACT

This paper is concerned with the Morse theory of attractors for semiflows on complete metric spaces. First, we construct global Morse-Lyapunov functions for Morse decompositions of attractors. Then we extend some well known deformation results in the critical-point theory to Morse-Lyapunov functions which are only continuous. Based on these works, we finally introduce the concept of critical groups for Morse sets and establish Morse inequalities and Morse equations for attractors.

研究の動機と目的

• 完備な距離空間上の半フローの吸引集合に対して、連続的ライアプノフ関数を用いて古典的モーレス理論を拡張すること。
• 吸引域全体に定義されたグローバルなモーレス＝ライアプノフ関数を構築すること、吸引集合上での定義にとどまらないこと。
• 滑らかな臨界点理論における変形補題を、連続的モーレス＝ライアプノフ関数へ一般化すること。
• 滑らかさの欠如下でも、モーレス集合のための臨界群を定義し、不等式と方程式を確立すること。
• 商位相空間の構造と、それらが臨界群不変量に与える影響を調査すること。

提案手法

• 吸引域 $\Omega$ 上で $V \to \infty$ となる連続的モーレス＝ライアプノフ関数 $V \in C(\Omega)$ を構成する。
• Dini 導関数 $D^+V(x) < -v(x) < 0$ を満たすように $V$ を設計し、$\Omega \setminus \mathcal{R}$ において軌道に沿って厳密に減少するようにする。ここで $\mathcal{R} = \bigcup M_k$ である。
• 臨界群 $C_q(M_k) = H_q(V_b, V_a)$ を定義し、$a < c_k < b$ において $c_k = V(M_k)$ が $[a,b]$ 内で一意の一般化臨界値であると仮定する。
• もし $V^{-1}([a,b])$ にモーレス集合を含まなければ、$V_a$ は $V_b$ の強い変形リトラクトであることを証明する。
• 商位相空間 $\tilde{X} = X / \sim$ を導入し、商臨界群 $\tilde{C}_q(M_k) = H_q(\tilde{V}_b, \tilde{V}_a)$ を定義する。
• 相対ホモロジーと有限ランクの仮定を用いて、元の設定および商設定の両方でモーレス不等式と方程式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的ライアプノフ関数のみを用いて、完備な距離空間上の半フローにおける吸引集合に対してモーレス理論を拡張することは可能か？
• RQ2 滑らかな臨界点理論における変形補題は、連続的モーレス＝ライアプノフ関数へどのように一般化できるか？
• RQ3 滑らかさが欠如する状況下で、モーレス集合のための適切な臨界群の定義は何か？
• RQ4 商臨界群は通常の臨界群とどのように異なるのか？ それらはどのような動的情報を符号化しているか？
• RQ5 連続的ライアプノフ関数を用いた吸引集合に対して、モーレス不等式と方程式が成り立つ条件は何か？

主な発見

• 本稿は、径方向に無限大に発散し、モーレス集合を除く軌道に沿って厳密に減少するグローバルなモーレス＝ライアプノフ関数 $V \in C(\Omega)$ を構築した。
• もし $V^{-1}([a,b])$ にモーレス集合が含まれなければ、$V_a$ は $V_b$ の強い変形リトラクトであることを証明した。これは、古典的変形結果を連続関数へ拡張したものである。
• 単一の平衡点モーレス集合 $M_k$ に対して、$b > c$ かつ $V^{-1}((c,b])$ に他のモーレス集合を含まなければ、$V_c$ は $V_b$ の強い変形リトラクトである。
• 臨界群 $C_q(M_k)$ は $H_q(V_b, V_a)$ として定義され、$M_k$ が単一の平衡点である場合にはすべての $q$ に対して $C_q(M_k) = 0$ となる。これは $M_2 = S^1$ の例で示された。
• 商位相空間では、$\tilde{C}_q(M_2) \cong H_q(S^2, [0]) \cong \mathbb{G}$ ($q=2$ のとき) であり、それ以外の $q$ では $0$ となる。これは、商臨界群が通常のものと異なる可能性があることを示している。
• 本稿は、元の設定および商設定の両方でモーレス不等式とモーレス方程式を確立した。交項和の収束条件を仮定した。