[論文レビュー] Mortar-based entropy-stable discontinuous Galerkin methods on non-conforming quadrilateral and hexahedral meshes

Jesse Chan, Mario J. Bencomo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 38被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ガウスコロケーション点を用いた非適合な四角形および六面体メッシュに対する、モルタルに基づくエントロピー安定な不連続ガラーキン法を提案する。界面に局所的な補正項を導入することで、フラックス評価の計算コストを低減しつつ、高次精度とエントロピー安定性を維持する。2次元および3次元の数値実験により検証された。

ABSTRACT

High-order entropy-stable discontinuous Galerkin (DG) methods for nonlinear conservation laws reproduce a discrete entropy inequality by combining entropy conservative finite volume fluxes with summation-by-parts (SBP) discretization matrices. In the DG context, on tensor product (quadrilateral and hexahedral) elements, SBP matrices are typically constructed by collocating at Lobatto quadrature points. Recent work has extended the construction of entropy-stable DG schemes to collocation at more accurate Gauss quadrature points. In this work, we extend entropy-stable Gauss collocation schemes to non-conforming meshes. Entropy-stable DG schemes require computing entropy conservative numerical fluxes between volume and surface quadrature nodes. On conforming tensor product meshes where volume and surface nodes are aligned, flux evaluations are required only between "lines" of nodes. However, on non-conforming meshes, volume and surface nodes are no longer aligned, resulting in a larger number of flux evaluations. We reduce this expense by introducing an entropy-stable mortar-based treatment of non-conforming interfaces via a face-local correction term, and provide necessary conditions for high-order accuracy. Numerical experiments in both two and three dimensions confirm the stability and accuracy of this approach.

研究の動機と目的

• 体積および表面の数値積分ノードが一致しない非適合メッシュにおけるエントロピー安定フラックス評価の高い計算コストを解消すること。
• 従来、適合メッシュに限られていたエントロピー安定なガウスコロケーションスキームを、非適合な四角形および六面体要素へ拡張すること。
• 非適合界面におけるフラックス評価回数を削減するために、界面に局所的な補正項を導入するモルタルに基づく定式化を開発すること。
• モルタル作用素に必要な条件を導出し、曲がった非適合メッシュ上でも高次精度とエントロピー安定性を保証すること。
• 特に3次元六面体メッシュにおいて、計算効率とロバスト性を2次元および3次元の数値実験で示すこと。

提案手法

• 適合なテンソル積要素上でのロバッチおよびガウスコロケーションスキームの統一的取り扱いを実現するため、ハイブリッド化された和分による部分積分（SBP）作用素を用いる。
• 非適合界面における連続性を強制するために、界面に局所的な補正項を適用するモルタルに基づく界面処理を導入し、フラックス評価回数を削減する。
• 幾何項の計算に高次多項式を低次空間に射影するための次数低減作用素を構築し、精度を保持する。
• 幾何項の計算に2通りのアプローチを適用する：1つは全次数の補間を用いる方法、もう1つは次数低減された幾何ポテンシャルを用いる方法で、後者はSBP条件を緩和する。
• エントロピー安定性を確保するため、エントロピー保存的数値フラックスとSBP作用素を組み合わせ、数値積分により離散的エントロピー不等式を検証する。
• ノード点にグローバルな写像変換を適用することで曲がったメッシュ上に実装し、幾何項は外積公式により計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウスコロケーションを用いたエントロピー安定な不連続ガラーキンスキームを、非適合な四角形および六面体メッシュへどのように拡張できるか？
• RQ2 非適合界面を横切るナイーブなフラックス評価の計算コストはどの程度で、どのように低減できるか？
• RQ3 非適合メッシュ上での高次精度とエントロピー安定性を保つために、モルタル作用素が満たすべき条件は何か？
• RQ4 異なる幾何項計算アプローチ（アプローチ1対アプローチ2）が精度と安定性に与える影響は何か？
• RQ5 提案されたモルタルに基づくスキームの収束特性および2次元および3次元の曲がったメッシュ設定におけるロバスト性はいかがなものか？

主な発見

• モルタルに基づく定式化により、界面に局所的な補正項を導入することで、非適合界面におけるフラックス評価回数が削減され、計算コストが顕著に低減された。
• 幾何項の$L^2$誤差において$O(h^{N+2})$の収束率を達成し、単体要素に関する先行研究の理論的予測と一致した。
• アプローチ1（全次数補間）はアプローチ2（次数低減ポテンシャル）よりもわずかに低い$L^2$誤差を示したが、両者ともほぼ同一の収束率を達成した。
• 3次元六面体メッシュにおいて、本手法はロバッチコロケーションを用いる既存のエントロピー安定スキームよりも計算的に効率的であった。
• 数値実験により、曲がった非適合メッシュ上でも2次元および3次元の両方において、スキームの安定性と高次精度が確認された。
• モルタル作用素とフラックス補正の注意深い構築のおかげで、体積ノードと表面ノードが一致しなくても、エントロピー安定性と高次精度が維持された。