[論文レビュー] Mosaic supercongruences of Ramanujan-type

Jesús Guillera|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、和項および級数パラメータに代数的数（平方根を含む）を含む超幾何級数に対するラマヌジャン型スーパー合同式の一般化である「モザイクスーパー合同式」を導入する。部分和が $ p^3 $ を法としてヤコビ記号と有理係数に関連する合同式を示し、ズーディリンおよびヴァン・ハームのパターンを多重二次体へ拡張する。

ABSTRACT

We generalize the patterns of supercongruences of Ramanujan-type observed by L. Van Hamme and W. Zudilin to series involving simple square roots anywhere and not only in the result of the sum. To support our observations we give some examples.

研究の動機と目的

• ラマヌジャン型級数において、和の結果だけでなく和項にも代数的数（平方根を含む）が現れる場合に、ヴァン・ハームとズーディリンが観察したスーパー合同式のパターンを一般化すること。
• 複数の平方根 $ \sqrt{d_1}, \dots, \sqrt{d_j} $ を含む有理係数付きの超幾何級数におけるスーパー合同式の統一的枠組みを確立すること。
• $ 1/\pi^2 $ 型級数に対する類似のモザイクスーパー合同式を仮説として提示し、支持する。これはズーディリンのパターンを $ p $ のより高いべきへ拡張するものである。

提案手法

• 代数的数体 $ \mathbb{Q}(\sqrt{d_1}, \dots, \sqrt{d_j}) $ 内のラマヌジャン・サト型級数の部分和を定義し、有理係数 $ \alpha_i(p) $ を用いた平方根の線形結合として表現する。
• 新たなスーパー合同式パターンを提唱：$ p > p_0 $ なる素数に対して、各係数 $ \alpha_i(p) \equiv a_i \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-d_i}{p} p \pmod{p^3} $ が成り立つ。ここで $ a_i $ は定数項における $ \sqrt{d_i} $ の有理係数である。
• 複素代数的パラメータ（$ \sqrt{7}, \sqrt{-1}, \sqrt{5} $ および $ \sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} $ のような積）を含む既知のラマヌジャン型級数にこの枠組みを適用し、数値的にパターンを検証する。
• ズーディリンの翻訳法とモジュラー形式を用いて、既存の級数から新しい級数を生成し、スーパー合同式構造を保存する。
• アペリー、ドム、アームクヴィスト＝ズーディリンの数列など、複数の例について、さまざまな代数的数体において合同式を数値的に検証する。
• $ 1/\pi^2 $ 型級数へパターンを一般化し、$ p^5 $ を法として合同式が成り立ち、係数が級数展開の定数項および一次項と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラマヌジャン型級数における $ 1/\pi $ のスーパー合同式のパターンを、和の結果だけでなく和項にも代数的数（平方根を含む）が現れる場合に拡張できるか。
• RQ2 多重二次体 $ \mathbb{Q}(\sqrt{d_1}, \dots, \sqrt{d_j}) $ に属するこのような級数の部分和が、ヤコビ記号と有理係数を含む $ p^3 $ を法とする合同式を満たすか。
• RQ3 $ 1/\pi^2 $ 型級数に対するズーディリン型スーパー合同式パターンを、代数的パラメータを含む形に一般化でき、$ p^5 $ を法として合同式が成り立つか。
• RQ4 これらのモザイクスーパー合同式が異なる数体で成り立つ理由を説明する統一的な代数的構造（例えば、ガロア不変性またはモジュラー形式に基づくメカニズム）が存在するか。
• RQ5 この手法を、$ \sqrt[3]{d} $ やより複雑な代数的整数を含む、高次数の代数的数へ拡張できるか。

主な発見

• $ \sqrt{15} $ を含む級数について、部分和が $ p^3 $ を法として $ \alpha_p \equiv 263 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-15}{p} p \pmod{p^3} $ を満たし、ズーディリンの既知の結果と一致する。
• $ \sqrt{7} $ を含む級数では、係数 $ \alpha_p \equiv -10 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-1}{p} p $ および $ \beta_p \equiv 7 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-7}{p} p \pmod{p^3} $ が成り立ち、モザイクパターンを確認する。
• $ \sqrt{3} $ と $ \sqrt{15} $ を含むアペリー型級数では、$ p > 5 $ に対して $ \alpha_p \equiv -134 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-3}{p} p $ および $ \beta_p \equiv 60 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-15}{p} p \pmod{p^3} $ が成り立つ。
• $ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6} $ を含む四平方根級数では、係数が $ \alpha_p \equiv 73 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-1}{p} p $、$ \beta_p \equiv 52 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-2}{p} p $、$ \gamma_p \equiv -42 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-3}{p} p $、$ \delta_p \equiv -30 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-6}{p} p \pmod{p^3} $ を満たす。
• $ \sqrt{-1} $ と $ \sqrt{7} $ を含む複素級数では、$ \alpha_p \equiv -13p $ および $ \beta_p \equiv 7 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{-7}{p} p \pmod{p^3} $ が数値的に検証された。
• $ \sqrt{5} $ を含む $ 1/\pi^2 $ 型級数では、係数が $ \alpha_p \equiv 56p^2 \pmod{p^5} $ および $ \beta_p \equiv -25 \genfrac{(}{)}{0.8pt}{}{5}{p} p^2 \pmod{p^5} $ を満たし、ズーディリンの $ p^5 $ パターンが一般化された。