[論文レビュー] Mosco Type Convergence of Bilinear Forms and Weak Convergence of $n$-Particle Systems

Jörg‐Uwe Löbus|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、変化する$L^2$空間上での非対称な双線形形式のMosco型収束の枠組みを確立し、$n$-粒子系の弱収束と相対的コンパクト性を可能にする。形式のMosco収束と適切な技術的条件の下で、関連する$n$-粒子過程が弱収束することを証明しており、従来の対称的またはディリクレ形式に基づく枠組みを超えて拡張している。

ABSTRACT

It is well known that Mosco (type) convergence is a tool in order to verify weak convergence of finite dimensional distributions of sequences of stochastic processes. In the present paper we are concerned with the concept of Mosco type convergence for non-symmetric stochastic processes and, in particular, $n$-particle systems in order to establish relative compactness.

研究の動機と目的

• ディリクレ性や閉包性を仮定しない非対称双線形形式へのMosco型収束の拡張。
• 関連する容量$\mathbb{E}[e^{-\beta \tau_n}]$の収束を用いて、$n$-粒子系の相対的コンパクト性と弱収束の確立。
• 極限初期分布が単一状態に集中しない非対称確率過程の一般枠組みの構築。
• 生成作用素に定数関数を作用させた際の技術的条件を導入することで、Mosco収束技法を非収縮半群に適応。
• [15] で示されるように、古典的非対称ディリクレ形式枠組みと整合しない粒子系モデルへの理論の適用。

提案手法

• 強連続収縮半群$L^2(E, \nu)$上の生成作用素$A$を用いて双線形形式$S(u,v)$を定義し、$u \in D(A)$に対して$S(u,v) = -\langle Au, v\rangle$とする。
• $u \notin D(S)$の場合は$S(u,v)$を無限大に拡張することで、非対称的かつ非正の形式の取り扱いを可能にする。
• 収縮性の代わりに技術的条件を導入：$A_n' \mathbf{1} \to A' \mathbf{1}$が適切な意味で成り立つことにより、半群の定義の妥当性を保証。
• リゾルベント作用素$G_{n,\beta} = (\beta - A_n)^{-1}$を用い、最初の退出時刻$\tau_n$に関する容量の列$\mathbb{E}_\nu[e^{-\beta \tau_n}]$を定義。
• 指数モーメントとリゾルベントの収束を用いて、$\mathbb{E}_{\nu_n}[\gamma_n(f)] \to 0$（$n \to \infty$）を証明し、有界連続関数$f$に対する$f(\mathbf{X}^n)$のtightnessを確立。
• Stone-Weierstrassの定理と[2]の弱収束基準を用いて、$C([0,T]; E)$における$\mathbf{X}^n$の弱収束を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディリクレ形式理論に依存せずに、非対称的・非正・非閉包可能な双線形形式へのMosco型収束を拡張できるか？
• RQ2 形式のMosco収束が、$n$-粒子系の相対的コンパクト性をどのように保証するかの条件は何か？
• RQ3 容量$\mathbb{E}[e^{-\beta \tau_n}]$の収束を用いて、有限次元分布の弱収束をどのように証明できるか？
• RQ4 半群が$L^2$上で収縮的でない場合、どのような技術的修正が必要か？
• RQ5 極限初期分布が非退化であり、かつ古典的非対称ディリクレ形式モデルと整合しない系に対しても、この枠組みは適用可能か？

主な発見

• 双線形形式$S_n$のMosco収束は、関連する容量$\mathbb{E}_\nu[e^{-\beta \tau_n}]$の収束を意味し、これは$n$-粒子過程の相対的コンパクト性を十分に保証する。
• Mosco収束と生成作用素に関する技術的仮定の下で、$\mathbb{E}_{\nu_n}[\gamma_n(f)] \to 0$（$n \to \infty$）が確立され、tightnessが保証される。
• $\mathbb{E}_{\nu_n}[\gamma_n(f)]$の消滅と$E$のコンパクト性から、$C([0,T]; \mathbb{R})$における$f(\mathbf{X}^n)$の相対的コンパクト性が導かれる。
• 有界連続関数空間の稠密性$\tilde{C}_b(E) \subset C_b(E)$とtightness基準を用いて、$C([0,T]; E)$における$\mathbf{X}^n$の弱収束が証明される。
• 極限初期分布が非退化であり、かつ古典的非対称ディリクレ形式モデルと整合しない系に対しても、この枠組みは適用可能である。
• $\|f - \beta G_{n,\beta}g_2\|_{L^2(\nu_n)} \to 0$および$G_{n,\beta}g_2 \to G_\beta g_2$の収束が、$\mathbb{E}_{\nu_n}[\gamma_n(f)] \to 0$の証明に不可欠である。