[論文レビュー] Moser's mathemagical work on the equation 1^k+2^k+...+(m-1)^k=m^k

Pieter Moree|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、1953年にレオ・モーザーが示した結果を再考し、Diophantine方程式 $1^k + 2^k + \cdots + (m-1)^k = m^k$ が $k \geq 2$ かつ $m > 10^{10^6}$ の場合に解をもたないことを、von Staudt-Clausen型定理と数列 $\{2^{2e+1}+1\}$ の整除性に関する性質を用いて簡略化・現代化した証明を与える。この論文は、モーザーの境界を $m > 1.485 \times 10^{9,321,155}$ に強化し、任意の解が $m$ と $k$ に対して厳密な算術的条件を満たす必要があることを示している。具体的には $k$ が偶数であること、$m \equiv 3 \pmod{8}$ であること、$m-1$, $(m+1)/2$, $2m-1$, $2m+1$ がすべて平方自由であること、およびすべての素因数 $p$ に対して $p-1 \mid k$ が成り立つことである。また、無限個の $a$ に対して、Erdős-Moser型方程式 $aS_k(m) = m^k$ の完全な解を示し、特定の条件下で $\mathcal{A}$ が空集合であることを証明している。

ABSTRACT

If the equation of the title has an integer solution with k>=2, then m>10^{10^6}. Leo Moser showed this in 1953 by amazingly elementary methods. With the hindsight of more than 50 years his proof can be somewhat simplified. We give a further proof showing that Moser's result can be derived from a von Staudt-Clausen type theorem. Based on more recent developments concerning this equation, we derive a new result using the divisibility properties of numbers in the sequence 2^{2e+1}+1, e=0,1,2,..... In the final section we show that certain Erdos-Moser type equations arising in a recent paper of Kellner can be solved completely.

研究の動機と目的

• 1953年にレオ・モーザーが示した $1^k + \cdots + (m-1)^k = m^k$ が $k \geq 2$ かつ $m > 10^{10^6}$ の場合に解をもたないという結果を、現代の数論的道具を用いて再導出し、簡略化すること。
• 精密な整除性および合同条件を用いて、モーザーの $m$ に関する境界を改善し、$m > 1.485 \times 10^{9,321,155}$ を証明すること。
• 任意の解が強い算術的制約を満たす必要があることを確立すること：$k$ は偶数、$m \equiv 3 \pmod{8}$、$m \equiv \pm1 \pmod{3}$、および $m$ を含むいくつかの式がすべて平方自由であること。
• 特定の合同条件および整除性条件を満たす $a$ に対して、Erdős-Moser型方程式 $aS_k(m) = m^k$ が無限個の $a$ に対して完全に解けることを示すこと。

提案手法

• p-進付値と合同式解析を用いて $m$ の境界を導出するため、von Staudt-Clausen定理の変種を用いてモーザーの元々の証明を再定式化する。
• パスカルに由来する二項恒等式を用いて、$p-1 \mid k$ ならば $S_k(p) \equiv -1 \pmod{p}$、そうでなければ $0$ であるという補題1を再証明する。
• ベルヌーイ数の性質とモジュラー算術を用いて、素数のべき法における方程式の解析を行い、$m$ と $k$ に対する制約を導出する。
• $2^{2e+1} + 1$ の形をした数の整除構造を分析し、$m+2$ がすべての素因数が $p \equiv 5,7 \pmod{8}$ である場合に、$m \geq 10^{10^{16}}$ の新しい下界を導出する。
• $a$ を割り切る素数 $q$ が $q^2 \nmid a$ かつ $q-1 \mid k$ を満たす場合、$aS_k(m) \neq m^k$ であることを証明し、このような $a$ を解集合から除外する。
• 連分数近似を用いた解析的技法（特に $\log(1+1/a)$ の計算に類似）を用いて、$m$ の境界を $10^{10^7}$ に到達する可能性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーザーの元々の証明（$k \geq 2$ の場合に $1^k + \cdots + (m-1)^k = m^k$ が解をもたない）を、現代の数論的道具を用いて簡略化・現代化できるか？
• RQ2 解が存在する場合の $m$ の最も鋭い既知の下界は何か？また、$2^{2e+1}+1$ の整除性の性質を用いてこれを改善できるか？
• RQ3 固定された $a$ に対して、一般化されたErdős-Moser方程式 $aS_k(m) = m^k$ が完全に解ける条件は何か？
• RQ4 解が存在する場合、$m$ と $k$ が満たすべき算術的制約は何か？特に平方自由性および合同条件に関して。
• RQ5 $\log 2$ の計算に用いられる連分数法を、元の方程式における $m$ の境界を改善するために適応できるか？

主な発見

• $1^k + \cdots + (m-1)^k = m^k$ が $k \geq 2$ の場合に解をもつと仮定したとき、$m > 1.485 \times 10^{9,321,155}$ であることが新しく示された。
• 任意の解は $k$ が偶数であること、$m \equiv 3 \pmod{8}$ であること、$m \equiv \pm1 \pmod{3}$ であること、および $m-1$, $(m+1)/2$, $2m-1$, $2m+1$ がすべて平方自由であること、を満たす必要があることが証明された。
• 上記の平方自由な式に含まれる任意の素数 $p$ に対して、$p-1$ が $k$ を割り切ることを示した。
• $(m^2 - 1)(4m^2 - 1)/12$ が平方自由であり、少なくとも $4,990,906$ 個の異なる素因数を持つことが証明された。
• $m+2$ がすべての素因数が $p \equiv 5,7 \pmod{8}$ である場合、$m$ の境界が $m \geq 10^{10^{16}}$ に強化された。
• 無限個の $a$ に対して、一般化されたErdős-Moser方程式 $aS_k(m) = m^k$ を完全に解明した。$q \mid a$, $q^2 \nmid a$, かつ $q-1 \mid k$ を満たす場合、$a \notin \mathcal{A}$ であることが示され、このような $a$ は解を持たないことが除外された。