[論文レビュー] Most Convex Functions Have Unique Minimizers

Chayne Planiden, Xianfu Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、バナッハ・カテゴリ論理の意味において、R^n 上のほとんどの適切で、凸で、下半連続な関数は、一意な最小化点を持つことを確立する。完全な距離空間としての近接写像の族と、一意な不動点を持つ「超正則写像」が一般であることを示し、凸関数のうち一意な最小化点を持つものの集合が一般であることを示し、非一意性が位相的にまれであることを示唆する。

ABSTRACT

Finding the minimum and the minimizers of convex functions has been of primary concern in convex analysis since its conception. It is well-known that if a convex function has a minimum, then that minimum is global. The minimizers, however, may not be unique. There are certain subclasses, such as strictly convex functions, that do have unique minimizers when the minimum exists, but other subclasses, such as constant functions, that do not. This paper addresses the question of how many convex functions have unique minimizers. We show, using Baire category theory, that the set of proximal mappings of convex functions that have a unique fixed point is generic. Consequently, the set of classes of convex functions that have unique minimizers is generic.

研究の動機と目的

• すべての適切で、凸で、下半連続な関数の空間において、一意な最小化点を持つ凸関数の集合が一般であるかどうかを特定すること。
• 測度論的ではなく位相的意味での「大多数」の概念を、バナッハ・カテゴリ論理を用いて拡張すること。
• 近接写像を基本対象として完全な距離空間 $(\mathcal{P}, \rho)$ を構築し、一意な不動点を持つ写像の一般性を分析すること。
• 近接写像の一様性と、一意なゼロを持つ部分微分作用素の一般性、および一意な最小化点を持つ凸関数の一般性を結びつけること。
• 無限次元空間や代替的な関数論的アプローチへの結果の拡張の基盤を構築すること。

提案手法

• 近接写像を基本対象として完全な距離空間 $(\mathcal{P}, \rho)$ を構築すること。
• 中心的な作用素として近接写像 $P_\lambda f(x) = \arg\min_y \left\{ f(y) + \frac{1}{2\lambda}\|y - x\|^2 \right\}$ を定義すること。
• モレウエンveロープ $e_\lambda f(x) = \inf_y \left\{ f(y) + \frac{1}{2\lambda}\|y - x\|^2 \right\}$ を用いて、関数とその近接写像を結びつけること。
• 収縮写像が超正則であることを利用し、収縮近接写像の集合が $\mathcal{P}$ で稠密であることを証明すること。
• 可算個の開かつ稠密な集合の共通部分として、超正則写像（一意な不動点を持つもの）の集合が $\mathcal{P}$ で一般であることを確立すること。
• 部分微分作用素の空間 $(J,d)$ と $(\mathcal{P}, \rho)$ 間の等長写像を用いて、一般性の結果を部分微分作用素へと転送し、最終的に凸関数の同値類へと到達すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^n 上のすべての適切で、凸で、下半連続な関数の空間において、一意な最小化点を持つ凸関数の集合は一般であるか？
• RQ2 測度論的ではなく、位相的意味においても「大多数」という概念を凸関数に意味的に適用できるか？
• RQ3 すべての近接写像の空間において、一意な不動点を持つ近接写像は一般であるか？
• RQ4 一意な最小化点の一様性が、近接写像から部分微分作用素および凸関数の同値類へと拡張されるか？
• RQ5 結果は無限次元ヒルベルト空間や代替的な関数空間へと拡張可能か？

主な発見

• 完全な距離空間 $(\mathcal{P}, \rho)$ において、一意な不動点を持つ近接写像の集合は一般である。これは、開かつ稠密な集合の可算個の共通部分であることを意味する。
• 収縮写像による近似を用いて、一意な不動点を持つ超正則写像の集合が $\mathcal{P}$ で一般であることが確立された。
• 適切で、凸で、下半連続な関数の部分微分作用素のうち、一意なゼロを持つものの集合は、空間 $(J,d)$ で一般である。これは $\mathcal{P}$ との等長写像によるものである。
• 一意な最小化点を持つ凸関数の同値類の集合は、空間 $(\mathcal{F}, \tilde{d})$ で一般である。これは、一意な最小化点が位相的に一般的であることを確認する。
• 結果は等長写像のもとで安定しており、近接写像から部分微分作用素、および関数の同値類へと一般性が転送可能である。
• 本論文は、最小化点の一意性の欠如が位相的に無視可能であることを確立した。すなわち、非一意な最小化点を持つ関数の集合は第一カテゴリに属する。