[論文レビュー] Most tensor problems are NP-hard

Christopher J. Hillar, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2009

Tensor decomposition and applications参考文献 85被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、3テンソルでさえも、テンソル固有値、特異値、スペクトルノルム、ランク、および最良の低ランク近似といった、多重線形代数におけるほとんどの基本的問題がNP困難であることを証明している。著者たちは、既知のNP完全問題からの還元を用いてこれを確立し、線形代数の扱いやすい問題のテンソル版が一般に計算的に困難であることを示している。

ABSTRACT

We prove that multilinear (tensor) analogues of many efficiently computable problems in numerical linear algebra are NP-hard. Our list here includes: determining the feasibility of a system of bilinear equations, deciding whether a 3-tensor possesses a given eigenvalue, singular value, or spectral norm; approximating an eigenvalue, eigenvector, singular vector, or the spectral norm; and determining the rank or best rank-1 approximation of a 3-tensor. Furthermore, we show that restricting these problems to symmetric tensors does not alleviate their NP-hardness. We also explain how deciding nonnegative definiteness of a symmetric 4-tensor is NP-hard and how computing the combinatorial hyperdeterminant of a 4-tensor is NP-, #P-, and VNP-hard. We shall argue that our results provide another view of the boundary separating the computational tractability of linear/convex problems from the intractability of nonlinear/nonconvex ones.

研究の動機と目的

• 標準的線形代数問題のテンソル版、たとえば固有値や特異値の計算に関する計算の非効率性を示すために、それらがNP困難であることを証明すること。
• 行列に関するNP困難性の結果を高次元テンソルへ拡張し、扱いやすい線形代数と明確な対比を示すこと。
• 対称テンソル問題の複雑さを分析し、対称性が計算の困難さを軽減しないことを示すこと。
• 4テンソルにおける非負定値性とハイパードテルミナントの複雑さを調査し、NP困難性、#P困難性、VNP困難性を証明すること。
• 数値多重線形代数における、扱いやすい線形・凸問題と非効率な非線形・非凸問題の境界を明確にすること。

提案手法

• 既知のNP完全問題（例：3-SAT、二次形式の可解性）からテンソル問題への還元を用いてNP困難性を証明する。
• 実数および有理数上の双線形系と多変数線形方程式を構築し、テンソル問題をモデル化する。
• 重要な補題において多項式恒等式およびイデアルの属するかを確認するため、記号計算（例：Singularによるグレブナー基底）を用いる。
• 双線形可解性への還元を介して、固有値、特異値、スペクトルノルム問題のNP困難性を証明する。
• 不変式理論と対称多変数線形形式を用いて、対称テンソル問題を分析する。
• 代数幾何学と計算複雑性理論を用いて、4テンソルにおける非負定値性と組合せ的ハイパードテルミナントのNP困難性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的線形代数問題（例：固有値や特異値の計算）のテンソル版は、NP困難であるか？
• RQ2 テンソルの対称性は、これらの問題の計算複雑度を軽減するか？
• RQ3 4テンソルが非負定値であるかどうかを判定する問題は、NP困難か？
• RQ4 4テンソルの組合せ的ハイパードテルミナントを計算する複雑度は何か？
• RQ5 3テンソルの最良のランク1近似は、多項式時間で計算可能か？

主な発見

• 実数上での3テンソルの固有値を計算することは、対称テンソルであってもNP困難である。
• 3テンソルの固有ベクトルまたは特異ベクトルを近似することはNP困難である。
• 3テンソルのスペクトルノルムを計算または近似することはNP困難である。
• 実数体または複素数体上での3テンソルのランクを決定することはNP困難である。
• 3テンソルの最良のランク1近似を計算することはNP困難である。
• 対称4テンソルの非負定値性を決定することはNP困難であり、組合せ的ハイパードテルミナントはNP困難、#P困難、VNP困難である。