[論文レビュー] Mostar index of graph operations

Shehnaz Akhter, Zahid Iqbal+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2020

Graph theory and applications参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、6種のグラフ作用素（コーナ、カルテシアン、結合、辞書的積、イン두＝バラ、および部分分割頂点辺結合）のメイソル指標について閉形式の公式を導出しており、複雑な化学的グラフおよびナノ構造のメイソル指標の効率的計算を可能にしている。主な貢献は、分子的グラフ作用素とトポロジカル記述子を結びつける体系的な枠組みを提供することであり、具体的な式は化学的およびナノ材料のグラフクラスにおいて検証済みである。

ABSTRACT

Very recently, a bond-additive topological descriptor, known as the Mostar index, has been proposed as a measure of peripherality in graphs and networks. In this article, we compute the Mostar index of corona product, Cartesian product, join, lexicographic product, Indu-Bala product and subdivision vertex-edge join of graphs and apply these results to find the Mostar index of various classes of chemical graphs and nanostructures.

研究の動機と目的

• さまざまなグラフ作用素のメイソル指標に対する解析的表現を確立し、分子およびナノ構造の性質の研究を容易化すること。
• 結合加算型トポロジカル記述子としてのメイソル指標（周辺性を測る）を、化学的およびナノ材料ネットワークに一般的な複雑なグラフ構造へと拡張すること。
• 既知の成分グラフの不変量を用いて、大規模かつ複雑な化学的グラフのメイソル指標を効率的に計算できる計算フレームワークを提供すること。
• 導出された公式を用いて、カーボンナノコーンなどの特定の化学的グラフおよびナノ構造のクラスにおけるメイソル指標を計算すること。
• 理論的グラフ不変量と定量的構造活性相関および構造特徴相関（QSAR/QSPR）の実用的応用を橋渡しすること。

提案手法

• 各グラフ作用素のメイソル指標を、各辺の寄与度に着目し、一方の端点に近い頂点数が他方より少ない頂点数の差を分析することで導出する。
• 頂点の分割と距離に基づく数え上げを用い、合成グラフ内の各辺について頂点数の絶対差を計算する。
• 既知の結果（例：パス、サイクル、完全グラフ）を用い、構造的分解により閉形式の式を導出する。
• 合成グラフ内の異なる辺タイプ（元のグラフ内、成分間、部分分割または結合構造内の辺など）について、ケースバイケースの分析を実施する。
• 対称性および推移性の性質（例：頂点推移的グラフはメイソル指標が0）を活用して式を簡略化する。
• 代数的変形と不等式による境界評価を用い、複雑な結合作用素における寄与度を推定することで、結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのグラフのコーナ積のメイソル指標はどのように計算できるか？
• RQ2 2つのグラフのカルテシアン積のメイソル指標は何か？ また、因子グラフの不変量とどのように関係するか？
• RQ3 結合、辞書的積、イン두＝バラ積、および部分分割頂点辺結合作用素のメイソル指標について、閉形式の式を導出できるか？
• RQ4 これらの作用素において、成分グラフのメイソル指標はどのように組み合わさり、合成グラフの指標を生成するか？
• RQ5 これらの公式は、現実の化学的およびナノ構造的グラフのメイソル指標計算にどのような意味を持つのか？

主な発見

• グラフ G₁ と G₂ のコーナ積のメイソル指標は、G₁ のメイソル指標、G₁ および G₂ の頂点数と辺数、および G₂ の頂点の次数を含む式で与えられる。
• カルテシアン積 G₁ □ G₂ のメイソル指標は、G₁ および G₂ のメイソル指標、それぞれの頂点数、および辺数の関数として表現される。
• 結合 G₁ + G₂ のメイソル指標は、G₁ および G₂ のメイソル指標、頂点集合のサイズ、およびそれらの間の辺数の組み合わせとして導出される。
• 辞書的積 G₁[G₂] のメイソル指標は、G₁ のメイソル指標、G₂ の頂点数と辺数、および G₁ の頂点の次数に依存する。
• インド＝バラ積では、成分グラフのメイソル指標とその構造的パラメータを含む対称的な公式を用いてメイソル指標が計算される。
• 部分分割頂点辺結合作用素のメイソル指標は、辺の寄与度についての詳細なケース別分析を経て導出され、元のグラフの位数、サイズ、次数列を含む式で表される。