[論文レビュー] Motion of a circular cylinder and n point vortices in a perfect fluid

А. В. Борисов, И. С. Мамаев+1 more|ArXiv.org|Feb 14, 2005

Fluid Dynamics Simulations and Interactions参考文献 4被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、完全流体内における剛体円形シリンダーとn個の点渇境のハミルトニアン構造を確立し、1渇境系では可積分性を示し、2渇境系では対称性還元とパンルゼ断面を用いてカオス的運動を分析している。この系は非退化ハミルトニアンであり、複雑なポアソン括弧を持つことが示され、パンルゼ断面における確率的挙動を通じた数値的証拠により、2渇境系における非可積分性が裏付けられている。

ABSTRACT

The paper studies the system of a rigid body interacting dynamically with point vortices in a perfect fluid. For arbitrary value of vortex strengths and circulation around the cylinder the system is shown to be Hamiltonian (the corresponding Poisson bracket structure is rather complicated). We also reduced the number of degrees of freedom of the system by two using the reduction by symmetry technique and performed a thorough qualitative analysis of the integrable system of a cylinder interacting with one vortex.

研究の動機と目的

• 剛体円形シリンダーと完全流体内のn個の点渇境のハミルトニアン形式を確立すること。
• 回転対称性の保存量（例えば角運動量）を用いた保存量による対称性還元を用いて、系の自由度を削減すること。
• 1渇境系の詳細な定性的解析を実施すること。
• パンルゼ断面などの数値的手法を用いて2渇境系におけるカオス的運動を調査すること。
• 還元された2渇境系における追加の第一積分の存在を特定すること。

提案手法

• 運動量バランスと速度ポテンシャル分解を用いて、固定座標系における運動方程式を導出すること。
• 位相変数のための明示的な成分 {ζi, ζj} を持つ非退化ポアソン括弧構造を構築すること。
• ポアソン括弧のジャコビ恒等式の証明により、系のハミルトニアン性を確認すること。
• 角運動量などの保存量を用いて回転対称性を除去する対称性還元の適用。
• パンルゼ断面を用いた2渇境系の数値的解析により、カオス的挙動の検出。
• 全エネルギー H や還元積分 F などの不変積分を用いて、低次元多様体上の力学を制約すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全流体内の剛体円形シリンダーとn個の点渇境の系は、任意の渇境強度と循環量に対してハミルトニアン的か？
• RQ2 系の自由度は対称性還元により削減可能か？ その還元系の構造はいかなるものか？
• RQ3 1渇境系は可積分的か？ その位相空間の定性的特徴は何か？
• RQ4 2渇境系にはエネルギーと還元積分 F に加えて、追加の第一積分が存在するか？
• RQ5 2渇境系にはどのようなカオス的挙動の証拠があり、それがどのように数値的に明らかになるか？

主な発見

• 完全流体内の円形シリンダーとn個の点渇境の系は、任意の渇境強度と循環量に対してハミルトニアン的であり、明示的に構築された非退化ポアソン括弧構造を持つ。
• 1渇境系は可積分的であり、位相図では閉じた周期的軌道と移動座標系における一様運動が観察される。
• 非コンパクト系（λ = 0）では、渇境は周期的運動を示し、シリンダーは移動座標系で一様な並進運動を示す。
• 2渇境系では、3次元多様体上での還元された力学がカオス的挙動を示し、パンルゼ断面図から確率的層が観察される。
• 数値的結果により、2渇境系には追加の第一積分が存在しないことが示され、一般系では非可積分であると示唆される。
• 系にはアトラクターを示さず、ハミルトニアン力学に一致するが、確率的層に囲まれた不変KAMトーラスが存在する。